Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF．
（1）證明：△CBF≌△CDF；
（2）若AC=2

3

，BD=2，求四邊形ABCD的周長；
（3）請你添加一個條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,菱形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題,開放型

分析：（1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可證明△CBF≌△CDF．
（2）由△ABC≌△ADC可知，△ABC與△ADC是軸對稱圖形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因為OC=OA，所以AC與BD互相垂直平分，即可證得四邊形ABCD是菱形，然后根據(jù)勾股定理全等AB長，進而求得四邊形的面積．
（3）首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．

解答：（1）證明：在△ABC和△ADC中，

AB=AD   BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA=∠DCA，
在△CBF和△CDF中，

BC=DC ∠BCA=∠DCA CF=CF

，
∴△CBF≌△CDF（SAS），

（2）解：∵△ABC≌△ADC，
∴△ABC和△ADC是軸對稱圖形，
∴OB=OD，BD⊥AC，
∵OA=OC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵AC=2

3

，BD=2，
∴OA=

3

，OB=1，
∴AB=

OA2+OB2

=

( 3 )2+12

=2，
∴四邊形ABCD的周長=4AB=4×2=8．

（3）當EB⊥CD時，即E為過B且和CD垂直時垂線的垂足，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，
∵△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，
∴∠EFD=∠BAD．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．