【題目】已知,如圖A在x軸負(fù)半軸上,B(0,-4),點(diǎn)E(-6,4)在射線BA上,
(1) 求證:點(diǎn)A為BE的中點(diǎn)
(2) 在y軸正半軸上有一點(diǎn)F, 使 ∠FEA=45°,求點(diǎn)F的坐標(biāo).
(3) 如圖,點(diǎn)M、N分別在x軸正半軸、y軸正半軸上,MN=NB=MA,點(diǎn)I為△MON的內(nèi)角平分線的交點(diǎn),AI、BI分別交y軸正半軸、x軸正半軸于P、Q兩點(diǎn), IH⊥ON于H, 記△POQ的周長為C△POQ.求證:C△POQ=2 HI.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)過E點(diǎn)作EG⊥x軸于G,根據(jù)B、E點(diǎn)的坐標(biāo),可證明△AEG≌△ABO,從而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得證;
(2)過A作AD⊥AE交EF延長線于D,過D作DK⊥x軸于K,然后根據(jù)全等三角形的判定得到△AEG≌△DAK,進(jìn)而求出D點(diǎn)的坐標(biāo),然后設(shè)F坐標(biāo)為(0,y),根據(jù)S梯形EGKD=S梯形EGOF+S梯形FOKD可求出F的坐標(biāo);
(3)連接MI、NI,根據(jù)全等三角形的判定SAS證得△MIN≌△MIA,從而得到∠MIN=∠MIA和∠MIN=∠NIB,由角平分線的性質(zhì),求得∠AIB=135°×3-360°=45°再連接OI,作IS⊥OM于S, 再次證明△HIP≌△SIC和△QIP≌△QIC,得到C△POQ周長.
試題解析:(1)過E點(diǎn)作EG⊥x軸于G,
∵B(0,-4),E(-6,4),∴OB=EG=4,
在△AEG和△ABO中,
∵
∴△AEG≌△ABO(AAS),∴AE=AB
∴A為BE中點(diǎn)
(2)過A作AD⊥AE交EF延長線于D,
過D作DK⊥x軸于K,
∵∠FEA=45°,∴AE=AD,
∴可證△AEG≌△DAK,∴D(1,3),
設(shè)F(0,y),
∵S梯形EGKD=S梯形EGOF+S梯形FOKD,
∴
∴
∴
(3)連接MI、NI
∵I為△MON內(nèi)角平分線交點(diǎn),
∴NI平分∠MNO,MI平分∠OMN,
在△MIN和△MIA中,
∵
∴△MIN≌△MIA(SAS),
∴∠MIN=∠MIA,
同理可得∠MIN=∠NIB,
∵NI平分∠MNO,MI平分∠OMN,∠MON=90°,
∴∠MIN=135°∴∠MIN=∠MIA =∠NIB=135°,
∴∠AIB=135°×3-360°=45°,
連接OI,作IS⊥OM于S, ∵IH⊥ON,OI平分∠MON,
∴IH=IS=OH=OS,∠HIS=90°,∠HIP+∠QIS=45°,
在SM上截取SC=HP,可證△HIP≌△SIC,∴IP=IC,
∠HIP=∠SIC,∴∠QIC=45°,
可證△QIP≌△QIC,
∴PQ=QC=QS+HP,
∴C△POQ=OP+PQ+OQ=OP+PH+OQ+OS=OH+OS=2HI.
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