Question

4．已知等邊△ABC．
（1）如圖①，P為等邊△ABC外一點，且∠BPC=120°，試猜想線段BP、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）如圖②，P為等邊△ABC內(nèi)一點，且∠APD=120°，求證：PA+PD+PC＞BD；
（3）在（2）的條件下，若∠CPD=30°，AP=4，CP=5，DP=8，則BD的長是13（請直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）先寫出線段BP、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)猜想作出合適的輔助線，畫出相應(yīng)的圖形，找出所求數(shù)量關(guān)系需要的條件即可；
（2）要證明PA+PD+PC＞BD，只需要作輔助線延長DP到M使得PM=PA，連接AM、BM，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊即可證明結(jié)論；
（3）要求BD的長，根據(jù)（2）中得到的結(jié)論和題意可以得到∠BMD=90°，BM的長，MD的長，然后根據(jù)勾股定理即可求得BD的長，本題得以解決．

解答 （1）AP=BP+PC，
證明：延長BP至E，使PE=PC，連接CE，如圖1所示，
∵∠BPC=120°，
∴∠CPE=60°，
又∵PE=PC，
∴△CPE為等邊三角形，
∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴∠ACB=∠PCE，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，
即∠ACP=∠BCE，
在△ACP與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCE}\\{PC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP=BE，
∵BE=BP+PE，
∴AP=BP+PC；
（2）證明：延長DP到M使得PM=PA，連接AM、BM，如下圖2所示，

∵∠APD=120°，PM=PA，
∴∠APM=60°，
∴△APM是等邊三角形，
∴AM=AP，∠PAM=60°，
∴DM=PD+PA，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠MAP=∠BAC，
∴∠MAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
即∠MAB=∠PAC，
在△AMB和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AP}\\{∠MAB=∠PAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△AMB≌△APC（SAS）
∴BM=PC，
∵在△BDM中，DM+BM＞BD，DM=PD+PA，
∴PA+PD+PC＞BD．
（3）如下圖2所示，

由（2）知△AMB≌△APC，
∴MB=PC，∠AMB=∠APC，
∵∠CPD=30°，AP=4，CP=5，DP=8，∠APD=120°，∠AMP=60°，
∴MB=5，∠AMB=∠APC=∠APD+∠CPD=120°+30°=150°，
∴∠BMD=∠AMB-∠AMP=90°，
∵MD=MP+PD=4+8=12，MB=5，
∴BD=$\sqrt{M{D}^{2}+M{B}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}=13$，
故答案為：13．

點評 本題主要考查幾何變換、對等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系，等式的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，此題是一個拔高的題目，有一定的難度，解題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，畫出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．