Question

如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別是D、E、F，若AF=4，BC=8，OD=3，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：計算題

分析：連結(jié)OD、OE、OF、OB、OC、OA，如圖，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)得OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD=OE=OF=3，根據(jù)三角形面積公式得到S_△ABC=

1

2

•OD•AB+

1

2

OF•BC+

1

2

OE•AC=

3

2

（AB+BC+AC），再根據(jù)切線長定理得AD=AE=4，BD=BF，CF=CE，則AB+BC+AC=2AE+2BC=24，所以可計算出S_△ABC=36．

解答：解：連結(jié)OD、OE、OF、OB、OC、OA，如圖，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD=OE=OF=3，
∴S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OAC
=

1

2

•OD•AB+

1

2

OF•BC+

1

2

OE•AC
=

3

2

（AB+BC+AC），
∵AD=AE=4，BD=BF，CF=CE，
∴AB+BC+AC=AD+BD+BC+AE+CE=2AE+2BC=8+16=24，
∴S_△ABC=

3

2

•24=36．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．也考查了切線長定理．