Question

16．如圖，點D在⊙O上，過點D的切線交直徑AB延長線于點P，DC⊥AB于點C．
（1）求證：DB平分∠PDC；
（2）若DC=6，tan∠P=$\frac{3}{4}$，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖，利用切線性質(zhì)得∠ODB+∠PDB=90°，由CD⊥OB得∠CDB+∠DBC=90°，加上∠ODB=∠OBD，于是得到∠CDB=∠PDB，即DB平分∠PDC；
（2）作BE⊥PD，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到BC=BE，在Rt△PDC中，利用三角函數(shù)的定義計算PC=8，則利用勾股定理可計算出PD=10，設BC=x，則BE=x，PB=8-x，通過證明Rt△PBE∽Rt△PDC，利用相似比得到x：6=（8-x）：10，然后根據(jù)比例性質(zhì)求出x即可．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵PD為切線，
∴OD⊥PD，
∴∠ODP=90°，即∠ODB+∠PDB=90°，
∵CD⊥OB，
∴∠DCB=90°，
∴∠CDB+∠DBC=90°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠CDB=∠PDB，
∴DB平分∠PDC；
（2）解：作BE⊥PD，如圖，
∵DB平分∠PDC，BC⊥CD，BE⊥PD，
∴BC=BE，
在Rt△PDC中，∵tanP=$\frac{CD}{PC}$=$\frac{6}{PC}$=$\frac{3}{4}$，
∴PC=8，
∴PD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
設BC=x，則BE=x，PB=8-x，
∵∠EPB=∠CPD，
∴Rt△PBE∽Rt△PDC，
∴BE：DC=PB：PD，即x：6=（8-x）：10，解得x=3，
即BC的長為3．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關系．解決本題的關鍵是根據(jù)角平分線性質(zhì)作BE⊥PD得到BC=BE，同時構(gòu)建Rt△PBE∽Rt△PDC．