Question

【觀察發(fā)現(xiàn)】
如圖1，F(xiàn)，E分別是正方形ABCD的邊CD、DA上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與C、D、A重合），滿足DF=AE．直線BE、AF相交于點(diǎn)G，猜想線段BE與AF 的數(shù)量關(guān)系，以及直線BE與直線AF 的位置關(guān)系．（只要求寫出結(jié)論，不必說出理由）
【類比探究】
如圖2，F(xiàn)，E分別是正方形ABCD的邊CD、DA延長線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與D、A重合），其他條件與【觀察發(fā)現(xiàn)】中的條件相同，【觀察發(fā)現(xiàn)】中的結(jié)論是否還成立？請根據(jù)圖2加以說明．
【深入探究】
若在上述的圖1與圖2中正方形ABCD的邊長為4，隨著動(dòng)點(diǎn)F、E的移動(dòng)，線段DG的長也隨之變化．在變化過程中，線段DG的長是否存在最大值或最小值，若存在，求出這個(gè)最大值或最小值，若不存在，請說明理由．（要求：分別就圖1、圖2直接寫出結(jié)論，再選擇其中一個(gè)圖形說明理由）

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)就可以得出AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，進(jìn)而得出△ABE≌△DAF就可以得出結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)就可以得出AB=AD，∠BAE=ADF=90°，進(jìn)而得出△ABE≌△DAF就可以得出結(jié)論；
（3）圖3中線段DG存在最小值為2

5

-2，不存在最大值，圖4中線段DG存在最大值為2

5

+2，不存在最小值，分別有指教三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間的距離的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答：解：【觀察發(fā)現(xiàn)】BE=AF，BE⊥AF．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°．
在△ABE和△DAF中，

AB=AD ∠BAE=∠ADF AE=DF

，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴BE=AF，∠ABE=∠DAF．
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠DAF=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥BE．
【類比探究】【觀察發(fā)現(xiàn)】中的結(jié)論仍成立，即BE=AF，BE⊥AF．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°．
在△ABE和△DAF中，

AB=AD ∠BAE=∠ADF AE=DF

，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴BE=AF，∠ABE=∠DAF．
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠DAF=90°．
∵∠DAF=∠GAE，
∴∠E+∠GAE=90°
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥BE；
【深入探究】
圖3中線段DG存在最小值為2

5

-2，不存在最大值，
圖4中線段DG存在最大值為2

5

+2，不存在最小值．
理由：如圖3，取AB的中點(diǎn)H，連接HD、HG
∴HG=

1

2

AB=2，
在Rt△ADH中，有勾股定理，得
DH=2

5

當(dāng)H、G、D三點(diǎn)不共線時(shí)，DG＞DH-HG，
當(dāng)H、G、D三點(diǎn)共線時(shí)，DG=DH-HG，
∴線段DG存在最小值為2

5

-2．
∵E不與A重合，
∴線段DG不存在最大值；
如圖4，取AB的中點(diǎn)H，連接HD、HG．
∴HG=

1

2

AB=2，
在Rt△ADH中，有勾股定理，得
DH=2

5

當(dāng)H、G、D三點(diǎn)不共線時(shí)，DG＜DH+HG，
當(dāng)H、G、D三點(diǎn)共線時(shí)，DG=DH+HG，
∴線段DG存在最大值為2

5

+2
∵E不與A重合，
∴線段DG不存在最小值．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，最短距離的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．