Question

如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE對(duì)折，A點(diǎn)恰好落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)F處．延長(zhǎng)AF，與CD邊交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)FE，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，則下列說(shuō)法：①△BFH為等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA； ③∠DFG=60°；④DE=2-

2

；⑤S_△AEF=S_△DFG．其中正確的說(shuō)法有（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

分析：①由折疊后對(duì)稱很容易得到結(jié)果．②由上一證結(jié)論，并證明△AHF≌△ADF從而證得．③由①證得：∠ABE=∠DAG=22.5°，在直角三角形ADG中，角AGD=67.5°故不正確．④根據(jù)對(duì)折可以證明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF=

2

-1，所以DE=

2

DF，從而得證．⑤過(guò)D作DI垂直于FG，垂足為I，EB與AF的交點(diǎn)為G，證明三角形DFI與EFG全等．

解答：解：由題意三角形ABE對(duì)折后為三角EFB，
∴∠EFB=∠DAB=90°，
由題意正方形ABCD，連接BD，
則角ABF=45°，
∴在直角三角形BHF中HF=BF，
故①正確．
由上一證知：HF=BF=AB，∠FHB=∠ADB=45°，
又知AF為公共邊，
∴△AHF≌△ADF，
故②正確．
由①證得：∠ABE=∠DAG=22.5°，
由已知∠BDC=45°，
∴在直角三角形ADG中，角AGD=67.5°，
在三角形DFG中角DFG=67.5°，
故③不正確；
根據(jù)對(duì)折可以證明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF=

2

-1，
所以DE=

2

DF，
即④正確，
或者過(guò)D作FG的垂線證明三角形全等，
⑤過(guò)D作DI垂直于FG，垂足為I，EB與AF的交點(diǎn)為G，
而這兩個(gè)三角形的面積分別等于相應(yīng)所在三角形的面積的一半，
所以證得三角形DFI與EFG全等．
故⑤正確．
所以①②④⑤正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，①由折疊后對(duì)稱很容易得到結(jié)果．②由上一證結(jié)論，并證明△AHF≌△ADF從而證得．③由①證得：∠ABE=∠DAG=22.5°，在直角三角形ADG中，角AGD=67.5°故不正確．④根據(jù)對(duì)折可以證明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF=

2

-1，所以DE=

2

DF，從而得證．⑤過(guò)D作DI垂直于FG，垂足為I，EB與AF的交點(diǎn)為G證明三角形DFI與EFG全等．