Question

17．如圖，在?ABCD中，連接對(duì)角線BD，BE平分∠ABD交AD于點(diǎn)E，DF平分∠BDC交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△AEB≌△CFD；
（2）若BD=BA，試判斷四邊形DEBF的形狀，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，CD∥BA，∠A=∠C，AB=CD，得出∠ABD=∠BDC，由角平分線的定義證出∠DBE=∠FDB，由ASA證明△AEB≌△CFD即可；
（2）先證明四邊形DEBF是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)推知BE⊥AD，然后由“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”證得四邊形DEBF是矩形即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，CD∥BA，∠A=∠C，AB=CD，
∴∠ABD=∠BDC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
又∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，
∴∠ABE=∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠CDF=∠BDF=$\frac{1}{2}$∠BDC，
∴∠DBE=∠FDB=∠DBE=∠BDF（等量代換），
在△AEB和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠ABE=∠CDF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CFD（ASA）；
（2）解：四邊形DEBF是矩形；理由如下：
由（1）知：∠DBE=∠BDF，
∴BE∥DF，
∵DE∥BF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形．
∵BD=BA，BE是∠ABD的平分線，
∴BE⊥AD，
∴∠DEB=90°，
∴四邊形DEBF是矩形（有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，運(yùn)用等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出BE⊥AD是解決問(wèn)題（2）的突破口．