Question

閱讀材料，大數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)讀書時(shí)曾經(jīng)研究過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：1+2+3+…+100=？經(jīng)過(guò)研究，這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論是1+2+3+4+5+…+n=

1

2

n(n+1)，其中n是正整數(shù)．現(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類似的問(wèn)題：
觀察下面三個(gè)特殊的等式：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2）
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）
3×4=

1

3

（3×4×5-2×3×4）
將這三個(gè)等式的兩邊分別相加，可以得到1×+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20
讀完這段材料，請(qǐng)你思考后回答：
（1）1×2+2×3+3×4+…+100×101=

 

．
（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

 

．
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

 

．
（只需寫出結(jié)果，不必寫中間的過(guò)程）

Answer 1

分析：此類題根據(jù)題目中提供的方法進(jìn)行變形替換，再提取公因式

1

3

，剩下括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)達(dá)到抵消的目的，從而簡(jiǎn)便計(jì)算．

解答：解：∵1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20，即1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×（3+1）×（3+2）=20
∴（1）原式=

1

3

×100×（100+1）×（100+2）=

1

3

×100×101×102；
（2）原式=

1

3

n（n+1）（n+2）；
（3）原式=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．

點(diǎn)評(píng)：能從材料中獲取所需的信息和解題方法是需要掌握的基本能力．
要注意：連續(xù)的整數(shù)相乘的進(jìn)一步變形，即n（n+1）=

1

3

[n（n+2）-n（n+1）（n-1）]；
n（n+1）（n+2）=

1

4

[n（n+1）（n+2）（n+3）-n（n-1）（n+1）（n+2）]．