Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)C，B的坐標(biāo)分別為（-4，0），（0，2）．四邊形ABCO是平行四邊形，拋物線過(guò)A，B，C三點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)D．一動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)P同時(shí)停止．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，四邊形POQE是等腰梯形？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以P，B，O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q，B，O為頂點(diǎn)的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）由條件先求出A的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法就可以直接求出拋物線的解析式．
（2）由（1）的解析式求出對(duì)稱軸和D的坐標(biāo)，由條件證明△EOB≌△QEF，得出BP=FQ，建立關(guān)于t的等式，即可求出t值．
（3）由條件可以從△PBO∽△QOB或△PBO∽△BOQ進(jìn)行計(jì)算，然后再?gòu)腜、Q兩點(diǎn)在y軸的同側(cè)和異側(cè)分別建立等量關(guān)系求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴OC=AB=4．
∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)B，∴c=2．
由題意，有

16a-4b+2=0 16a+4b+2=2.

，
解得

a=- 1 16 b= 1 4 .

∴所求拋物線的解析式為y=-

1

16

x2+

1

4

x+2；

（2）將拋物線的解析式配方，得y=-

1

16

(x-2)2+2

1

4

．
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2．
當(dāng)y=0時(shí)，x₁=-4，x₂=8
∴D（8，0），E（2，2），F(xiàn)（2，0）．
欲使四邊形POQE為等腰梯形，則有OP=QE，BO=EF．
∴△POB≌△QEF
∴BP=FQ．
∴t=6-3t，即t=

3

2

．

（3）欲使以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，
∴△PBO∽△QOB或△PBO∽△BOQ，
∴

BP

OB

=

OQ

BO

或

BP

OB

=

BO

OQ

，
即PB=OQ或OB²=PB•QO．
①若P、Q在y軸的同側(cè)．
當(dāng)PB=OQ時(shí)，t=8-3t，
∴t=2．
當(dāng)OB²=PB•QO時(shí)，t（8-3t）=4，即3t²-8t+4=0．
解得t1=2，t2=

2

3

．
②若P、Q在y軸的異側(cè)．
當(dāng)PB=OQ時(shí)，3t-8=t，
∴t=4．
當(dāng)OB²=PB•QO時(shí)，t（3t-8）=4，即3t²-8t-4=0．
解得t=

4±2 7

3

．
∵0＜t≤4，
∴t=

4-2 7

3

舍去，
∴t=

4+2 7

3

．
∴當(dāng)t=2或t=

2

3

或t=4或t=

4+2 7

3

秒時(shí)，以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用及數(shù)學(xué)分類思想的運(yùn)用．