【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,3),與x軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B(3,0).點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達(dá)式;

(2)連接PO,PC,并把△POC沿y軸翻折,得到四邊形POP′C.若四邊形POP′C為菱形,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ACPB的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2),);(3)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)時(shí),四邊形ACPB的最大面積值為.

【解析】

(1)已知二次函數(shù)上兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式。

(2)根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直且平分,可得P點(diǎn)的縱坐標(biāo),根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得P點(diǎn)坐標(biāo);

(3)根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo),可得PQ的長,根據(jù)面積的和差,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案.

解:(1)將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得

,

解得,

二次函數(shù)的解析是為y=﹣x2+2x+3;

(2)若四邊形POP′C為菱形,則點(diǎn)P在線段CO的垂直平分線上,

如圖1,連接PP′,則PE⊥CO,垂足為E,

∵C(0,3),

∴E(0,),

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo),

當(dāng)y=時(shí),即﹣x2+2x+3=

解得x1=,x2=(不合題意,舍),

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,);

(3)如圖2,

P在拋物線上,設(shè)P(m,﹣m2+2m+3),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得

,

解得

直線BC的解析為y=﹣x+3,

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,﹣m+3),

PQ=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m.

當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+2x+3=0,

解得x1=﹣1,x2=3,

OA=1,

AB=3﹣(﹣1)=4,

S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

=ABOC+PQOF+PQFB

=×4×3+(﹣m2+3m)×3

=﹣(m﹣2+,

當(dāng)m=時(shí),四邊形ABPC的面積最大.

當(dāng)m=時(shí),﹣m2+2m+3=,即P點(diǎn)的坐標(biāo)為().

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)時(shí),四邊形ACPB的最大面積值為

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【題目】已知:如圖,在RtABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于點(diǎn)D,且AB=5,AD=4,在AD上取一點(diǎn)G,使AG=,點(diǎn)P是折線CB﹣BA上一動(dòng)點(diǎn),以PG為直徑作O交AC于點(diǎn)E,連結(jié)PE.

(1)求sinC的值;

(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)如圖所示,⊙O交邊AB于點(diǎn)F,求證:∠EPG=∠FPG;

(3)點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中:

當(dāng)BC或AB與O相切時(shí),求所有滿足條件的DE長;

點(diǎn)P以圓心O為旋轉(zhuǎn)中心,順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到P′,當(dāng)P′恰好落在AB邊上時(shí),求OPP′與OGE的面積之比(請(qǐng)直接寫出答案).

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(1)求證:EG=CG且EG⊥CG;

(2)將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45,如圖②所示,取DF中點(diǎn)G,連接EG,CG.問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.

(3)將圖①中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度,如圖③所示,再連接相應(yīng)的線段,問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?

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A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

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1求證;△AOC≌△CEB

2△ABD的面積。

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(1)求證:ABE∽△DBA;

(2)試判斷PA與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;

(3)若EBD的中點(diǎn),求tanADC的值.

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(2)如圖2,若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②所示的位置(BD<CE)時(shí),其余條件不變,則BDDE、CE的關(guān)系如何?請(qǐng)說明理由

(3)如圖3,若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③所示的位置(BD>CE)時(shí),其余條件不變,則BDDE、CE的關(guān)系如何?

(4)根據(jù)以上的討論,請(qǐng)用簡潔的語言表達(dá)BDDECE的數(shù)量關(guān)系.

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