Question

【題目】如圖，已知：在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，將一塊足夠大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如圖放置，頂點P在線段AB上滑動，三角尺的直角邊PM始終經(jīng)過點C，并且與CB的夾角∠PCB=α，斜邊PN交AC于點D.

（1）當PN∥BC時，判斷△ACP的形狀，并說明理由；

（2）點P在滑動時，當AP長為多少時，△ADP與△BPC全等，為什么？

（3）點P在滑動時，△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出夾角α的大��；若不可以，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）△ACP是直角三角形，理由見解析；（2）4，理由見解析；（3）當α=45°或90°或0°時，△PCD是等腰三角形．

【解析】試題分析： 為直角三角形，理由為：，得到一對內(nèi)錯角相等，求出為直角，即可得證；
（2）當AP=4時，△ADP與△BPC全等，理由為：根據(jù)且，求出 與度數(shù)，再由外角性質(zhì)得到 根據(jù)，利用 即可得證；
點在滑動時，的形狀可以是等腰三角形，分三種情況考慮：當 分別求出夾角的大小即可．

試題解析：(1)是直角三角形，理由為：

當時,

又，

∴是直角三角形；

(2)當AP=4時,

理由為：

又∵∠APC是△BPC的一個外角，

又

∴

(3)△PCD的形狀可以是等腰三角形，

則

①當PC=PD時，△PCD是等腰三角形，

即

②當PD=CD時，△PCD是等腰三角形，

即

③當PC=CD時，△PCD是等腰三角形，

即

，

此時點P與點B重合，點D和A重合，

綜合所述：當或或 時，△PCD是等腰三角形.