Question

心理學家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，在一節(jié)40分鐘的課中，學生的注意力隨老師講課時間的變化而變化，開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散．經(jīng)過實驗分析可知，學生的注意力指數(shù)y隨時間x（分）的變化規(guī)律如圖所示（其中AB、BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分）；

（1）分別求出線段AB、BC和雙曲線的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．
（2）開始上課后第5分鐘時與第30分鐘比較，何時學生的注意力更集中？
（3）一道數(shù)學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指數(shù)最低達到36，那么經(jīng)過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）用待定系數(shù)法分別求出AB和CD的函數(shù)表達式即可；
（2）分別求第五分鐘和第三十分鐘的注意力指數(shù)，最后比較判斷；
（3）分別求出注意力指數(shù)為36時的兩個時間，再將兩時間之差和19比較，大于19則能講完，否則不能．

解答：解：（1）設(shè)線段AB所在的直線的解析式為y₁=k₁x+20，
把B（10，40）代入得，k₁=2，
∴y₁=2x+20．（0≤x≤10）
設(shè)C、D所在雙曲線的解析式為y2=

k2

x

，
把C（25，40）代入得，k₂=1000，
∴y2=

1000

x

（25≤x≤40）；

（2）當x₁=5時，y₁=2×5+20=30，
當 x1=30時，y2=

1000

30

=

100

3

，
∴y₁＜y₂
∴第30分鐘注意力更集中．

（3）令y₁=36，
∴36=2x+20，
∴x₁=8
令y₂=36，
∴36=

1000

x

，
∴x2=

1000

36

≈27.8
∵27.8-8=19.8＞19，
∴經(jīng)過適當安排，老師能在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目．

點評：主要考查了函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是根據(jù)實際意義列出函數(shù)關(guān)系式，從實際意義中找到對應(yīng)的變量的值，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)自變量的值求算對應(yīng)的函數(shù)值．