Question

如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，0）、（0，4），P是△AOB外接圓上的一點(diǎn)，且∠AOP=45°，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由P點(diǎn)在第一象限，∠AOP=45°，可設(shè)P（a，a）．過點(diǎn)C作CF∥OA，過點(diǎn)P作PE⊥OA于E交CF于F，用含a的代數(shù)式分別表示PF，CF，在△CFP中由勾股定理求出a的值，即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：∵OB=4，OA=4，
∴AB==8，
∵∠AOP=45°，
P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，可設(shè)P（a，a）．
∵∠AOB=90°，
∴AB是直徑，
∴Rt△AOB外接圓的圓心為AB中點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)C，則C（2，2），
P點(diǎn)在圓上，P點(diǎn)到圓心的距離為圓的半徑4．
過點(diǎn)C作CF∥OA，過點(diǎn)P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-2，CF=a-2，PC=4，
∴+（a-2）²=4²，舍去不合適的根，
可得a=2+2，P（2+2，2+2）；
即P點(diǎn)坐標(biāo)為（2+2，2+2）．
故選：D．
點(diǎn)評：此題主要考查了圓周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用能力．