已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),以P(1,1)為圓心的⊙P與x軸,y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N,點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),連接PF,過點(diǎn)PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).
(1)若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上(如圖所示),求證:PE=PF;
(2)在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)OE=a,OF=b,試用含a的代數(shù)式表示b;
(3)作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)F′,經(jīng)過M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q,連接QE.在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻,使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似?若存在,請(qǐng)直接寫出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
考點(diǎn):圓的綜合題
專題:壓軸題
分析:(1)連接PM,PN,運(yùn)用△PMF≌△PNE證明;
(2)分兩種情況:①當(dāng)t>1時(shí),點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上;②當(dāng)0<t≤1時(shí),點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上,再根據(jù)(1)求解,
(3)分兩種情況,當(dāng)1<t<2時(shí),當(dāng)t>2時(shí),三角形相似時(shí)還各有兩種情況,根據(jù)比例式求出時(shí)間t.
解答:證明:(1)如圖,連接PM,PN,
∵⊙P與x軸,y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N,
∴PM⊥MF,PN⊥ON且PM=PN,
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°,
∵PE⊥PF,
∠NPE=∠MPF=90°-∠MPE,
在△PMF和△PNE中,
∠NPE=∠MPF
PN=PM
∠PNE=∠PMF

∴△PMF≌△PNE(ASA),
∴PE=PF;

(2)解:分兩種情況:
①當(dāng)t>1時(shí),點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上,如圖1,

由(1)得△PMF≌△PNE,
∴NE=MF=t,PM=PN=1,
∴b=OF=OM+MF=1+t,a=NE-ON=t-1,
∴b-a=1+t-(t-1)=2,
∴b=2+a,
②0<t≤1時(shí),如圖2,點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上,

同理可證△PMF≌△PNE,
∴b=OF=OM+MF=1+t,a=OE=ON-NE=1-t,
∴b+a=1+t+1-t=2,
∴b=2-a.
綜上所述,當(dāng)t>1時(shí),b=2+a;當(dāng)0<t≤1時(shí),b=2-a;

(3)存在;
①如圖3,當(dāng)1<t<2時(shí),

∵F(1+t,0),F(xiàn)和F′關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,M的坐標(biāo)為(1,0),
∴F′(1-t,0)
∵經(jīng)過M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q,
∴Q(1-
1
2
t,0)
∴OQ=1-
1
2
t,
由(1)得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t,
∴OE=t-1
當(dāng)△OEQ∽△MPF
OE
MP
=
OQ
MF

t-1
1
=
1-
1
2
t
t

解得,t=
1+
17
4

當(dāng)△OEQ∽△MFP時(shí),
OE
MF
=
OQ
MP

t-1
t
=
1-
1
2
t
1
,
解得,t=
2
,
②如圖4,當(dāng)t>2時(shí),

∵F(1+t,0),F(xiàn)和F′關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,
∴F′(1-t,0)
∵經(jīng)過M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q,
∴Q(1-
1
2
t,0)
∴OQ=
1
2
t-1,
由(1)得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t,
∴OE=t-1
當(dāng)△OEQ∽△MPF
OE
MP
=
OQ
MF

t-1
1
=
1
2
t-1
t
,
無解,
當(dāng)△OEQ∽△MFP時(shí),
OE
MF
=
OQ
MP
,
t-1
t
=
1
2
t-1
1

解得,t=2+
2
,t=2-
2
(舍去)
所以當(dāng)t=
1+
17
4
,t=
2
,t=2+
2
時(shí),使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了圓的綜合題,解題的關(guān)鍵是把圓的知識(shí)與全等三角形與相似三角形相結(jié)合找出線段關(guān)系.
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364
,1.010010001…,4.
••
21
,π,
3
,
22
7
中,無理數(shù)有( 。
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(1)為了研究上述問題,先對(duì)a,b任意取值比較a2+b2與2ab的大小,用“<”、“=”或“>”填空.
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2ab;
②當(dāng)a=3,b=2時(shí),a2+b2
 
2ab;
③當(dāng)a=-2,b=4時(shí),a2+b2
 
2ab;
④當(dāng)a=
1
2
,b=
3
4
時(shí),a2+b2
 
2ab;
⑤當(dāng)a=3,b=0時(shí),a2+b2
 
2ab;
(2)通過觀察,猜想:對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,總有a2+b2
 
2ab;
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1
x-y+1
+
1
5-x-y
=2
1
x-y+1
+
1
x+y-5
=0

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