Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PF，過點(diǎn)PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上（如圖所示），求證：PE=PF；
（2）在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)OE=a，OF=b，試用含a的代數(shù)式表示b；
（3）作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)F′，經(jīng)過M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，連接QE．在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）連接PM，PN，運(yùn)用△PMF≌△PNE證明；
（2）分兩種情況：①當(dāng)t＞1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上；②當(dāng)0＜t≤1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上，再根據(jù)（1）求解，
（3）分兩種情況，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，當(dāng)t＞2時(shí)，三角形相似時(shí)還各有兩種情況，根據(jù)比例式求出時(shí)間t．

解答：證明：（1）如圖，連接PM，PN，
∵⊙P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，
∵PE⊥PF，
∠NPE=∠MPF=90°-∠MPE，
在△PMF和△PNE中，

∠NPE=∠MPF PN=PM ∠PNE=∠PMF

，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PE=PF；

（2）解：分兩種情況：
①當(dāng)t＞1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，如圖1，

由（1）得△PMF≌△PNE，
∴NE=MF=t，PM=PN=1，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE-ON=t-1，
∴b-a=1+t-（t-1）=2，
∴b=2+a，
②0＜t≤1時(shí)，如圖2，點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上，

同理可證△PMF≌△PNE，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON-NE=1-t，
∴b+a=1+t+1-t=2，
∴b=2-a．
綜上所述，當(dāng)t＞1時(shí)，b=2+a；當(dāng)0＜t≤1時(shí)，b=2-a；

（3）存在；
①如圖3，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，

∵F（1+t，0），F(xiàn)和F′關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，M的坐標(biāo)為（1，0），
∴F′（1-t，0）
∵經(jīng)過M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，
∴Q（1-

1

2

t，0）
∴OQ=1-

1

2

t，
由（1）得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t，
∴OE=t-1
當(dāng)△OEQ∽△MPF
∴

OE

MP

=

OQ

MF

∴

t-1

1

=

1- 1 2 t

t

，
解得，t=

1+ 17

4

，
當(dāng)△OEQ∽△MFP時(shí)，
∴

OE

MF

=

OQ

MP

，

t-1

t

=

1- 1 2 t

1

，
解得，t=

2

，
②如圖4，當(dāng)t＞2時(shí)，

∵F（1+t，0），F(xiàn)和F′關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，
∴F′（1-t，0）
∵經(jīng)過M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，
∴Q（1-

1

2

t，0）
∴OQ=

1

2

t-1，
由（1）得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t，
∴OE=t-1
當(dāng)△OEQ∽△MPF
∴

OE

MP

=

OQ

MF

∴

t-1

1

=

1 2 t-1

t

，
無解，
當(dāng)△OEQ∽△MFP時(shí)，
∴

OE

MF

=

OQ

MP

，

t-1

t

=

1 2 t-1

1

，
解得，t=2+

2

，t=2-

2

（舍去）
所以當(dāng)t=

1+ 17

4

，t=

2

，t=2+

2

時(shí)，使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是把圓的知識(shí)與全等三角形與相似三角形相結(jié)合找出線段關(guān)系．