Question

如圖，正方形ABCD的邊長為a，點E、F、G、H分別在正方形的四條邊上，已知EF∥GH，EF=GH．
（1）若AE=AH=，求四邊形EFGH的周長和面積；
（2）求四邊形EFGH的周長的最小值．

Answer 1

解：連接AC、BD，由勾股定理，得AC=BD=a，
（1）∵AB=AD=a，AE=AH==AD，
∴==，
∴EH∥BD，==，
EH=a，
同理可得GH=a，
∵EF∥GH，EF=GH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
根據(jù)正方形的性質(zhì)可知AC⊥BD，
∴?EFGH為矩形，
∴四邊形EFGH的周長=2（a+a）=2a，
四邊形EFGH的面積=a×a=a²；

（2）設(shè)AE=x，則BE=a-x，
當EF∥GH，EF=GH時，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵AC=BD，
∴EH=EF，
∴四邊形EFGH為菱形，
四邊形EFGH周長為：4=4，
當x=-=時，周長最小為2a．
分析：（1）當AE=AH=時，可證EH∥BD∥FG，利用相似比可求EH與BD的關(guān)系，同理可得GH與AC的關(guān)系，可求四邊形EFGH的周長，又正方形對角線互相垂足，可證四邊形EFGH為矩形，可求四邊形EFGH的面積；
（2）當EF∥GH，EF=GH時，可證四邊形EFGH為菱形，設(shè)AE=x，則BE=a-x，根據(jù)勾股定理求菱形的邊長，再表示周長，求最小值．
點評：本題考查了二次函數(shù)的最值在求四邊形周長最值中的運用．關(guān)鍵是判斷四邊形的形狀，利用相似，勾股定理表示四邊形的周長和面積．