Question

矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=4，將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上的B′處，折痕為AE．在折痕AE上存在一點(diǎn)P到邊CD的距離與到點(diǎn)B的距離相等，則此相等距離為

9 7 -3 14

7

．

Answer 1

分析：由翻折的性質(zhì)知，BP=B′P，而要點(diǎn)P到CD的距離等于PB，則該垂線段必為PB′，故有PB′⊥CD，延長AE交DC的延長線于點(diǎn)F，由于DF∥AB，則∠F=∠BAE=∠B′AE，所以B′F=B′A=AB=3，而B′P∥AC，利用平行線分線段成比例定理（或相似三角形的性質(zhì)）即可求得B′P的長，由此得解．

解答：解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知：BP=PB′，若點(diǎn)P到CD的距離等于PB，則此距離必與B′P相同，所以該距離必為PB′．延長AE交CD的延長線于F．
由題意知：AB=AB′=3，∠BAE=∠B′AE，
∵Rt△ACB′中，AB′=3，AC=

AD 2-AB 2

=

7

，
∴CB′=

AB′ 2-AC 2

=

2

，
由于DF∥AB，則∠F=∠BAE，
又∵∠BAE=∠B′AE，
∴∠F=∠B′AE，
∴FB′=AB′=3；
∵PB′⊥CD，AC⊥CD，
∴PB′∥AC，
∴

PB′

AC

=

FB′

FC

，
∴

PB′

7

=

3

3+ 2

，
解得：PB'=

9 7 -3 14

7

故答案為：

9 7 -3 14

7

．

點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換以及相似三角形的性質(zhì)等知識的應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是能夠發(fā)現(xiàn)PB′就是所求的P到CD的距離．