如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,點(diǎn)P、Q分別是邊AB、BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B、C不重合)且始終保持BP=BQ,AQ⊥QE,QE交正方形外角平分線CE于點(diǎn)E,AE交CD于點(diǎn)F,連結(jié)PQ.
(1)求證:△APQ≌△QCE;
(2)求∠QAE的度數(shù);
(3)設(shè)BQ=x,當(dāng)x為何值時(shí),QF∥CE,并求出此時(shí)△AQF的面積.
考點(diǎn):正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)
專題:
分析:(1)判斷出△PBQ是等腰直角三角形,然后求出∠APQ=∠QCE=135°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE,再求出AP=CQ,然后利用“角邊角”證明即可;
(2)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AQ=EQ,判斷出△AQE是等腰直角三角形,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答;
(3)把△ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG,求出∠GAF=45°,從而得到∠GAF=∠QAF,再利用“邊角邊”證明△AQF和△AGF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得QF=GF,再根據(jù)兩直線平行,同位角相等求出∠CQF=45°,然求出CQ=CF,分別用x表示出CQ、CF、QF,利用勾股定理列式表示出QF,然后列出方程求出x,再求出△AGF的面積,即為△AQF的面積.
解答:(1)證明:在正方形ABCD中,∠B=90°,AB=BC,
∵BP=BQ,
∴△PBQ是等腰直角三角形,AP=CQ,
∴∠BPQ=45°,
∵CE為正方形外角的平分線,
∴∠APQ=∠QCE=135°,
∵AQ⊥QE,
∴∠CQE+∠AQB=90°,
又∵∠PAQ+∠AQB=90°,
∴∠PAQ=∠CQE,
在△APQ和△QCE中,
∠PAQ=∠CQE
AP=CQ
∠APQ=∠QCE
,
∴△APQ≌△QCE(ASA);

(2)解:∵△APQ≌△QCE,
∴AQ=EQ,
∵AQ⊥QE,
∴△AQE是等腰直角三角形,
∴∠QAE=45°;

(3)解:如圖,把△ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG,
則AQ=AG,BQ=DG,∠BAQ=∠DAG,
∵∠QAE=45°,
∴∠GAF=45°,
∴∠GAF=∠QAF,
在△AQF和△AGF中,
AQ=AG
∠GAF=∠QAF
AF=AF

∴△AQF≌△AGF(SAS),
∴QF=GF,
∵QF∥CE,
∴∠CQF=45°,
∴△CQF是等腰直角三角形,
∴CQ=CF,
∵BQ=x,
∴CQ=CF=2-x,
∴DF=2-(2-x)=x,
∴QF=GF=2x,
在Rt△CQF中,CQ2+CF2=QF2,
即(2-x)2+(2-x)2=(2x)2
解得x=2-
2
,
∴△AGF的面積=
1
2
×2(2-
2
)×2=4-2
2

即△AQF的面積為4-2
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,難點(diǎn)在于(3)作輔助線構(gòu)造成全等三角形并利用勾股定理列出方程.
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2a-3
+
5
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5
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1
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個(gè).

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