Question

12．某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元時(shí)，則每個(gè)月少賣5件（每件售價(jià)不能高于65元），設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？
（3）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)恰為3200元？根據(jù)以上結(jié)論，請(qǐng)你直接寫出售價(jià)在什么范圍內(nèi)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于3200元？

Answer 1

分析 （1）先求得銷售量與上漲價(jià)格的關(guān)系式，然后再根據(jù)銷售利潤(rùn)=件數(shù)×每件的利潤(rùn)列出關(guān)系式；
（2）先求得拋物線的對(duì)稱軸，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定出最大利潤(rùn)和此時(shí)的售價(jià)；
（3）令y=3200，得到關(guān)于x的一元二次方程，然后解得x的值即可，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得自變量的范圍．

解答 解：（1）由題意得：y=（210-5x）（50+x-40）
=-5x²+160x+2100（0＜x≤15且x為整數(shù)）；
（2）∵x=-$\frac{2a}$=-$\frac{160}{-5×2}$=16，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=16，
∵a=-5＜0，
∴當(dāng)0＜x≤15時(shí)，y隨x的增大而增大．
∴當(dāng)x=15時(shí)，每個(gè)月的獲利最大，最大值為3375元．
50+15=65元．
∴當(dāng)售價(jià)定為每件65元，每個(gè)月的利潤(rùn)最大，最大的月利潤(rùn)是3375元．
（3）當(dāng)y=3200時(shí)，-5x²+160x+2100=3200，
解得：x₁=10，x₂=22（舍去）．
∴當(dāng)x=10時(shí)，即定價(jià)=50+10=60元．
∴當(dāng)售價(jià)定為每件60元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)為3200元．
當(dāng)售價(jià)在不低于60且不高于65元之間時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于3200元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題中涉及的變量，列出等量關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題．