Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，點D是弧AC的中點，弦AC與BD相交于點E，DE=3，EB=6．
（1）求證：△ABD∽△EAD；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）若點F是弦AC的延長線上一點，且△ABF的面積為18$\sqrt{3}$，求證：BF是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）利用$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$得到∠DAC=∠ABD，然后加上公共角即可判斷△ABD∽△EAD；
（2）由△ABD∽△EAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可計算出AD=3$\sqrt{3}$，再根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，然后根據(jù)正切的定義可計算出tan∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，由tan∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$得到∠ABD=30°，則利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AB=2AD=6$\sqrt{3}$，由于∠DAE=∠ABD=30°，則∠BAE=30°，AE=2DE=6，所以∠AED=60°，再證明∠ACB=90°，于是有BC=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，接著根據(jù)三角形面積公式可計算出AF=12，則EF=EB=6，于是可判斷△BEF為等邊三角形，得到∠EBF=60°，所以ABF=∠ABD+∠EBF=90°，最后根據(jù)切線的判定定理可得BF是⊙O的切線．

解答 （1）證明：∵點D是弧AC的中點，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠DAC=∠ABD，
∵∠ADE=∠BAE，∠DAE=∠ABD，
∴△ABD∽△EAD；
（2）解：∵△ABD∽△EAD，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DE}{AD}$，即$\frac{AD}{3+6}$=$\frac{3}{AD}$，
∴AD=3$\sqrt{3}$，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴tan∠ABD=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{3\sqrt{3}}{9}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）證明：∵tan∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABD=30°，
∴AB=2AD=6$\sqrt{3}$，
∵∠DAE=∠ABD=30°，
∴∠BAE=30°，AE=2DE=6，
∴∠AED=60°，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
∵△ABF的面積為18$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$AF•BC=18$\sqrt{3}$，
∴AF=$\frac{18\sqrt{3}×2}{3\sqrt{3}}$=12，
∴EF=AF-AE=6，
∴EF=EB，
∵∠BEF=∠AED=60°，
∴△BEF為等邊三角形，
∴∠EBF=60°，
∴∠ABF=∠ABD+∠EBF=90°，
∴BF⊥AB，
∴BF是⊙O的切線．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．