Question

已知△ABC中，∠C是其最小的內(nèi)角，如果過頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線．例如：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=20°，過頂點(diǎn)B的一條直線BD交AC于點(diǎn)D，且∠DBC=20°，顯然直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線．
（1）如圖2，在△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°．請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線，并標(biāo)注角度；
（2）在△ABC中，設(shè)∠B的度數(shù)為y，最小內(nèi)角∠C的度數(shù)為x．試探索y與x之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，△ABC存在關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖

專題：

分析：（1）首先了解伴侶分割線的定義，然后把角ABC分成90°角和20°角即可；
（2）設(shè)BD為△ABC的伴侶分割線，分以下兩種情況．第一種情況：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二種情況：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分別進(jìn)行分析．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）設(shè)BD為△ABC的伴侶分割線，分以下兩種情況．
第一種情況：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，
易知∠C和∠DBC必為底角，∴∠DBC=∠C=x．
當(dāng)∠A=90°時(shí)，△ABC存在伴侶分割線，此時(shí)y=90°-x，
當(dāng)∠ABD=90°時(shí)，△ABC存在伴侶分割線，此時(shí)y=90°+x，
當(dāng)∠ADB=90°時(shí)，△ABC存在伴侶分割線，此時(shí)x=45°且y＞x；
第二種情況：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，
當(dāng)∠DBC=90°時(shí)，若BD=AD，則△ABC存在伴侶分割線，
此時(shí)180°-x-y=y-90°，∴y=135°-

1

2

x，
當(dāng)∠BDC=90°時(shí)，若BD=AD，則△ABC存在伴侶分割線，
此時(shí)∠A=45°，∴y=135°-x．
綜上所述，當(dāng)y=90°-x或y=90°+x或x=45°且y＞x或y=135°-

1

2

x或y=135°-x時(shí)△ABC存在伴侶分割線．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)作圖，關(guān)鍵是正確理解題意，了解伴侶分割線的意義．