Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y=

1

x

與一次函數(shù)y=kx+b（k＞0）分別交于點A與點B，直線與y軸交于點C，把直線AB繞著點C旋轉(zhuǎn)一定的角度后，得到一條新直線．若新直線與雙曲線y=

-1

x

相交于點E、F，并使得雙曲線y=

1

x

，y=

-1

x

，連線y=kx+b以及新直線構(gòu)成的圖形能關(guān)于某條坐標(biāo)軸對稱，如果點A的橫坐標(biāo)為1，則點A、點E、點B、點F構(gòu)成的四邊形的面積是多少？（用含k的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：將A橫坐標(biāo)代入反比例y=

1

x

中，求出y的值確定出A的縱坐標(biāo)，將A坐標(biāo)代入y=kx+b中表示出b，得到一次函數(shù)解析式，與反比例解析式聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的解表示出B坐標(biāo)，由雙曲線y=

1

x

與y=-

1

x

與直線y=kx+b以及新直線的對稱性可得：點A與點E關(guān)于y軸對稱，點B與點F關(guān)于y軸對稱，表示出E與F坐標(biāo)，進(jìn)而確定出AE與BF，且AE與BF的距離為k+1，利用梯形的面積公式表示出梯形AEBF的面積即可．

解答：解：∵x_A=1，A點在y=

1

x

上，
∴y_A=1，
把點A（1，1）代入y=kx+b中得：1=k+b，
∴b=1-k，
∴y=kx+（1-k），
由

y= 1 x y=kx+(1-k)

，消去y得：

1

x

=kx+（1-k），
整理得：kx²+（1-k）x-1=0，
∴x₁=1，x₂=-

1

k

，
∴點B的坐標(biāo)為（-

1

k

，-k），
由雙曲線y=

1

x

與y=-

1

x

與直線y=kx+b以及新直線的對稱性可得：
點A與點E關(guān)于y軸對稱，點B與點F關(guān)于y軸對稱，
∴E（-1，1）、F（

1

k

，-k），
∴AE=2，BF=

2

k

，AE與BF的距離為k+1，
∴S_梯形AEBF=

2+ 2 k

2

（k+1）=（1+

1

k

）（k+1）=k+

1

k

+2．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及對稱的性質(zhì)，由雙曲線y=

1

x

與y=-

1

x

與直線y=kx+b以及新直線的對稱性可得：點A與點E關(guān)于y軸對稱，點B與點F關(guān)于y軸對稱是解本題的關(guān)鍵．