Question

已知正方形ABCD的邊長為6，以D為圓心，DA為半徑在正方形內作弧AC，E是AB邊上動點（與點A、B不重合），過點E作弧AC的切線，交BC于點F，G為切點，⊙O是△EBF的內切圓，分別切EB、BF、FE于點P、J、H
（1）求證：△ADE∽△PEO；
（2）設AE=x，⊙O的半徑為y，求y關于x的解析式，并寫出定義域；
（3）當⊙O的半徑為1時，求CF的長；
（4）當點E在移動時，圖中哪些線段與線段EP始終保持相等，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由EA與EG是⊙D的切線，根據切線長定理即可得∠AED=∠FED，又由⊙O是△EBF的內切圓，易證得∠AED=∠EOP，然后根據有兩角對應相等的三角形相似，即可證得△ADE∽△PEO；
（2）首先根據題意求得AD，OP，PE的長，然后由△ADE∽△PEO，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得y關于x的解析式；
（3）由⊙O的半徑為1時，根據（2）中的解析式，即可求得AE的長，然后設CF=a，根據切線長定理可得1=

4+6-a-(a+2)

2

，則可求得CF的長；
（4）結合（2），由EP=6-x-y，即可求得EP=

36-6x

6+x

，然后在Rt△BEF中利用勾股定理，求得CF的值，又由切線長定理可得EP=EH=CF=GF．

解答：（1）證明：∵EA與EG是⊙D的切線，
∴∠AED=∠FED，
∵⊙O是△EBF的內切圓，
∴∠PEO=∠HEO，∠EPO=90°，
∴∠AED+∠PEO=90°，∠PEO+∠EOP=90°，
∴∠AED=∠EOP，
∴△ADE∽△PEO；（3分）

（2）解：∵AE=x，⊙O的半徑為y，
∴OP=PB=y，
∵正方形ABCD的邊長為6，
∴AD=AB=6，
∴PE=AB-AE-PB=6-x-y，
∵△ADE∽△PEO，
∴

OP

AE

=

PE

AD

，
即

y

x

=

6-x-y

6

，
整理得y=

6x-x2

x+6

，定義域為0＜x＜6；（6分）

（3）解：當y=1時，求得x=2或x=3，
設CF=a，當x=2時，EF=a+2，BF=6-a，EB=4，
∴1=

4+6-a-(a+2)

2

，解得a=3，
同理，當x=3時，解得a=2；（9分）

（4）EP=EH=CF=GF，
證明：EP=6-x-y=6-x-

6x-x2

6+x

=

36-6x

6+x

，
由BE²+BF²=EF²得（6-x）²+（6-a）²=（a+x）²，
整理得a=

36-6x

6+x

，
∴EP=CF，根據切線長定理即可得EP=EH=CF=GF．（12分）

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質，切線長定理，內切圓的性質以及勾股定理等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用．