Question

13．如圖，以等腰△ABC的一腰AB為直徑的圓交底邊BC于點(diǎn)D，交另一腰AC于點(diǎn)F，連接DF，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：BC=2DF；
（2）若AB=13，sinB=$\frac{12}{13}$，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，則利用等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，∠B=∠C，再證明DF=DC，從而得到BC=2DF；
（2）在Rt△ABD中利用正弦定義求出AD，再利用勾股定理計(jì)算出BD，得到CD的長(zhǎng)，接著在Rt△CDE中利用正弦求出DE，則利用勾股的定理計(jì)算出CE，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得EF，然后計(jì)算AC-EF-CE即可．

解答 （1）證明：連結(jié)AD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，∠B=∠C，
∵∠DFC=∠B，
∴∠DFC=∠C，
∴DF=DC，
∴BD=CD=CF，
∴BC=2DF；
（2）解：在Rt△ABD中，∵sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{12}{13}$，
而AB=13，
∴AD=12，
∴BD=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∴CD=5，
在Rt△CDE中，∵sinC=$\frac{DE}{CD}$=sinB=$\frac{12}{13}$，
∴DE=$\frac{60}{13}$，
∴CE=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{60}{13}）^{2}}$=$\frac{25}{13}$，
∵DF=DC，DE⊥CF，
∴EF=CE=$\frac{25}{13}$，
∴AF=AC-EF-CE=13-$\frac{25}{13}$×2=$\frac{119}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形．