Question

已知關(guān)于x的方程x2-(m-2)x-

m2

4

=0
（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；
（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂滿足|x₂|=|x₁|+2，求m的值及相應(yīng)的x₁、x₂．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)方程根的判別式判斷根的情況，只要證明判別式△的值恒為正值即可；
（2）|x₂|=|x₁|+2，即|x₂|-|x₁|=2，兩邊平方后再配方得（x₁+x₂）²-4|x₁x₂|=4，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系用m表示出兩根的和與兩根的積，代入得到關(guān)于m的方程，即可求得m的值．

解答：解：（1）∵a=1，b=-（m-2），c=-

m2

4

，
∴△=b²-4ac=[-（m-2）²]-4×1×（-

m2

4

）
=2m²-4m+4=2（m-1）²+2＞0，
∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）∵a=1，b=-（m-2），c=-

m2

4

，
∴x₁+x₂=m-2，
∵方程總有兩個(gè)的實(shí)數(shù)根
∴x₁•x₂=-

m2

4

≤0，
∴x₁與x₂異號(hào)或有一個(gè)為0，由|x₂|=|x₁|+2，|x₂|-|x₁|=2，
當(dāng)x₁≥0，x₂＜0時(shí)，-x₂-x₁=2，即-（m-2）=2，解得m=0，
此時(shí)，方程為x²+2x=0，解得x₁=0，x₂=-2；
當(dāng)x₁≤0，x₂＞0時(shí)，x₂+x₁=m-2=2，解得m=4，
當(dāng)m=4時(shí)，x²-2x-4=0，
∴x₁=1-

5

，x₂=1+

5

．

點(diǎn)評(píng)：總結(jié)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
此題不僅考查了根的判別式的應(yīng)用，還應(yīng)用了根與系數(shù)的關(guān)系以及配方法的運(yùn)用，增根的判斷．