Question

如圖，AB∥CD，AB=AC，BF∥AE，點P是直線BF上一點，點Q是直線CD上一點，∠PAQ=∠EAB．求證：AP=AQ．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：在CD上取一點M，使得AM=AC，由已知角相等，利用等式的性質(zhì)得到∠EAP=∠BAQ，由AB與CD平行得到一對同位角相等，由AE與BF平行得到一對內(nèi)錯角相等，等量代換得到∠AQC=∠APB，利用等角的補角相等得到∠ABP=∠AMQ，再由AB=AC，等量代換得到AM=AP，利用AAS得到三角形ABP與三角形AMQ全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證．

解答：證明：在CD上取一點M，使得AM=AC，
∵∠EAB=∠PAQ，
∴∠EAP+∠PAB=∠PAB+∠BAQ，
∴∠EAP=∠BAQ，
∵AB∥CD，AE∥BF，
∴∠BAQ=∠AQC，∠EAP=∠APB，
∴∠AQC=∠APB，
∵∠ABP+∠EAB=180°，∠EAB=∠C，
∵AC=AM，AB=AC，
∴∠C=∠AMC，AM=AB，
∴∠EAB=∠AMC，
∵∠AMC+∠AMQ=180°，
∴∠ABP=∠AMQ，
在△AMQ和△ABP中，

∠AQC=∠APB ∠ABP=∠AMQ AM=AB

，
∴△AMQ≌△ABP（AAS），
∴QA=PA．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．