Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin∠CAB=$\frac{1}{3}$，點O在AB上，且CB=CO=3，若Rt△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到Rt△BED，且E落在CO的延長線上，連接AD交CO的延長線于F，則AF的長為7．

Answer 1

分析 先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出△BCE∽△BAD，得出結(jié)論再判斷出△BOC∽△FOA，再用銳角三角函數(shù)求解即可

解答 解：如圖，

由旋轉(zhuǎn)得，∠ABC=∠DBE，BC=BE，BA=BD，
∴∠CBE=∠ABD，
∴△BCE∽△BAD，
∴∠BCE=∠BAD，
∵∠COB=∠AOF，
∴△BOC∽FOA，
∵OC=BC=3，
∴AO=AF．
作CI⊥AB，
∴∠BCI=∠BAC，BI=OI，
∴sin∠BCI=$\frac{BI}{BC}=\frac{BI}{3}$=sin∠BAC=$\frac{1}{3}$，
∴AB=9，BI=1=OI，BO=2，
∴AF=AO=AB-BO=7．
故答案為7．

點評 此題是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)的意義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是銳角三角函數(shù)的意義的應用．