Question

如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC⊥BD，垂足為E，CE：BE=1：2，CD=5，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點：圓周角定理,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：作直徑AF，連接BF，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠BEC=90°，則可證明Rt△ABF∽Rt△BEC，利用相似比可得AB=2BF，再證明△ABE∽△DCE，利用相似比得到AB=2CD=10，則BF=5，然后在Rt△ABF利用勾股定理計算AF即可．

解答：解：作直徑AF，連接BF，如圖，
∵AC⊥BD，
∴∠BEC=90°，
∵AF為直徑，
∴∠ABF=90°，
∵∠F=∠ACB，
∴Rt△ABF∽Rt△BEC，
∴

AB

BE

=

BF

EC

，
∴

AB

BF

=

BE

CE

=2，即AB=2BF，
∵∠BAE=∠CDE，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴

AB

CD

=

BE

CE

=2，
∴AB=2CD=10，
在Rt△ABF中，∵AB=10，BF=

1

2

AB=5，
∴AF=

AB2+BF2

=5

5

，
即⊙O的直徑為5

5

．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．