Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，OA=5，OB=2

5

，將△ABO繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得△A₁B₁O，連接BB₁交x軸于點C．
（1）分別求出點A₁、B、B₁的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=3x²+bx+c經(jīng)過A₁，C兩點，求此拋物線的解析式；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得△PA₁C與△BOC相似（其中P的對應(yīng)點為B）？若存在，請你求出P點的坐標(biāo)，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由A點坐標(biāo)可求出A₁點坐標(biāo)，先求出B點坐標(biāo)進而便可求出B₁點坐標(biāo)；
（2）先求出C點坐標(biāo)，再將A₁、C兩點坐標(biāo)代y=3x²+bx+c入即可解得此拋物線的解析式；
（3）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)求出相應(yīng)的P點坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的相似性便可求出另一個滿足條件的P點坐標(biāo)，注意不要漏解．

解答：（本題滿分14分）
解：（1）由題意A（0，5）△ABO繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的A₁點坐標(biāo)為（5，0），
在Rt△AOB中，AB=

OA2-OB2

=

5

，
過B作BD⊥x軸于D點，
△ABO∽△ODB
∴

BD

OD

=

OB

AB

=

2 5

5

=2
OB=

OD2+BD2

=2

5

∴OD=2，BD=4，
∴B（2，4）
△ABO繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的B₁點坐標(biāo)為（4，-2）；

（2）由連接BB₁交x軸于點C，可得C點坐標(biāo)為（

10

3

，0）．（6分）
因拋物線y=3x²+bx+c經(jīng)過A₁，C兩點，
則此拋物線的解析式為y=3(x-

10

3

)(x-5)；（8分）

（3）在x軸下方的拋物線上存在點P，使得△PA₁C與△BOC相似．（9分）
理由如下：∵△B₁A₁C∽△BOC可證，
而B₁（4，-2）在拋物線y=3(x-

10

3

)(x-5)上，
∴P點即B₁點；（12分）
又由拋物線的對稱性可知，點（4

1

3

，-2）也滿足條件．（14分）

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形的相似等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運用，同學(xué)們要加強訓(xùn)練，屬于中檔題．