Question

梯形ABCD中，AB∥CD，AB=kAC，E為腰BC上一點，且∠AED=∠BAC．
（1）如圖1，當k=1時，試判斷AE與DE的數(shù)量關系，并加以證明．
（2）如圖2，當k≠1時，∠ACB＜90°，其它條件不變，（1）中結論還成立嗎？如果成立，請加以證明；如果不成立，寫出新的數(shù)量關系，并加以證明．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）求出A、D、C、E四點共圓，推出∠ADE=∠ACB，求出∠ADE=∠DAE，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可；
（2）求出A、D、C、E四點共圓，推出∠ADE=∠ACB，推出△ADE和△ACB相似，得出比例式，求出即可．

解答：（1）AE=DE，
證明：∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵∠AED=∠BAC，
∴∠DCA=∠DEA，
∴A、D、C、E四點共圓，
∴∠ADE=∠ACB，
∵AB=kAC，k=1，
∴∠B=∠ACB，
∴∠DAE=∠ADE，
∴AE=DE；

（2）（1）中的結論不成立，
AE=kDE，
證明：∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵∠AED=∠BAC，
∴∠DCA=∠DEA，
∴A、D、C、E四點共圓，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠BAC=∠DEA，
∴△ADE∽△BCA，
∴

DE

AE

=

AC

AB

，
∴∠B=∠ACB，
∴∠DAE=∠ADE，AB=kAC，
∴AE=kDE．

點評：本題考查了四點共圓的條件，圓周角定理，相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查了學生的推理能力，題目比較好，有一定難度．