Question

如圖①，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過點A的一條直線，且B、C在AE的兩側(cè)，BD⊥DE，CE⊥DE，分別于D、E．

(1)判斷BD與DE＋CE的關(guān)系，并說明理由．

(2)若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到如圖②(BD＜CE)所示位置時，其余條件不變，則BD與DE、CE的關(guān)系如何？請說明理由．

(3)若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到如圖③(BD＞CE)所示位置時，其余條件不變，則BD與DE、CE的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不用證明．

(4)歸納(1)(2)(3)，請用簡潔的語言表述BD、DE、CE的關(guān)系．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)BD＝DE＋CE． 　　理由：∵∠BAC＝90°，∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°． 　　∵BD⊥DE，∴∠BAD＋∠ABD＝90°． 　　∴∠ABD＝∠CAE． 　　在△ABD與△CAE中， 　　 　　∴△ABD≌△CAE(AAS)． 　　∴DA＝CE，AE＝BD(全等三角形的對應(yīng)邊相等)． 　　∵AE＝DA＋DE，∴BD＝DE＋CE． 　　(2)BD＝DE－CE，理由同上． 　　(3)BD＝DE－CE． 　　(4)歸納(1)(2)(3)可知，結(jié)論表示為： 　　當(dāng)B、C在AE兩側(cè)時，BD＝DE＋CE． 　　當(dāng)B、C在AE同側(cè)時，BD＝DE－CE． 　　分析：本題反映了動態(tài)幾何中的量的關(guān)系，其關(guān)鍵是猜想規(guī)律，再運用有關(guān)的幾何知識進(jìn)行證明． 　　三種情況下，都可以證明△ABD≌△CAE，把BD、CE轉(zhuǎn)換到直線AE上，分不同的情況討論．