Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C（0，3），A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3，0）．點P是拋物線上一個動點，且在直線BC的上方．

（1）求這個二次函數(shù)的表達式．
（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）當點P運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大，并求出此時點P的坐標和四邊形面積的最大值。

Answer 1

【答案】
（1）解：將B、C兩點的坐標代入得 ，解得 ，

所以二次函數(shù)的表達式為y=﹣x2+2x+3

（2）解：如圖，

存在點P，使四邊形POP′C為菱形．

設(shè)P點坐標為（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于E，

若四邊形POPC是菱形，則有PC=PO，

連接PP則PE⊥CO于E，

∴OE=CE= ，

∴y= ，

∴-x2+2x+3= ，

解得x1= ，x2= （不合題意，舍去），

∴P點的坐標為（ ， ）；

（3）解：如圖1，

，

過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設(shè)P（x，﹣x2+2x+3）

易得，直線BC的解析式為y=﹣x+3．

則Q點的坐標為（x，﹣x+3）．

PQ=﹣x2+3x．

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ= ABOC+ QPBF+ QPOF= ×4×3+ （﹣x2+3x）×3=﹣ （x﹣ ）2+ ，

當x= 時，四邊形ABPC的面積最大，

此時P點的坐標為（ ， ），四邊形ABPC面積的最大值為 ．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法將點C、點B的坐標代入函數(shù)解析式即可求出結(jié)果。
（2）要使四邊形POP′C為菱形，因此根據(jù)菱形的對角線互相平分，可得到P點的縱坐標，根據(jù)函數(shù)值與自變量的對應關(guān)系，建立方程可得答案。（3）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，先求出直線BC的函數(shù)解析式，根據(jù)兩函數(shù)解析式設(shè)點P的坐標，再表示出點Q的坐標，即可表示出PQ的長，再根據(jù)S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ，建立函數(shù)解析式，就可求出此時點P的坐標和四邊形面積的最大值。
【考點精析】利用確定一次函數(shù)的表達式和二次函數(shù)的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．