Question

3．如圖，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上且BE平分∠DBC，O是BD的中點，直線BE、DG交于點H，BD、AH交于點M，連接OH，下列四個結論：
①BE⊥GD；②OH=$\frac{1}{2}$BG；③∠AHD=45°；④GD=$\sqrt{2}$AM，
其中正確的結論個數(shù)有4個．

Answer 1

分析 ①由已知條件可證得△BEC≌△DGC，∠EBC=∠CDG，因為∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正確；
②由①可以證明△BHD≌△BHG，就可以得到DH=GH，得出OH是△BGD的中位線，從而得出結論．
③若以BD為直徑作圓，那么此圓必經過A、B、C、H、D五點，根據(jù)圓周角定理即可得到∠AHD=45°，所以②的結論也是正確的．
④此題要通過相似三角形來解；由②的五點共圓，可得∠BAH=∠BDH，而∠ABD=∠DBG=45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根據(jù)相似三角形的比例線段即可得到AM、DG的比例關系；

解答 解：①正確，證明如下：
∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，
∴△BEC≌△DGC，
∴∠EBC=∠CDG，
∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，
∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正確；
②∵BE平分∠DBC，
∴∠DBH=∠GBH．
∵BE⊥GD，
∴∠BHD=∠BHG=90°．
在△BHD和△BHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBH=∠GBH}\\{BH=BH}\\{∠BHD=∠BHG}\end{array}\right.$，
∴△BHD≌△BHG（ASA），
∴DH=GH．
∵O是BD中點，
∴DO=BO．
∴OH是△BDG的中位線，
∴OH=$\frac{1}{2}$BG，故②正確；
③由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五點都在以BD為直徑的圓上；
由圓周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故③正確；
④由②知：A、B、C、D、H五點共圓，則∠BAH=∠BDH；
又∵∠ABD=∠DBG=45°，
∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：$\sqrt{2}$，即DG=$\sqrt{2}$AM；
故④正確；
∴正確的個數(shù)有4個．
故答案為：4．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用、正方形的性質的運用，角平分線的性質的運用以及圓周角定理等知識，綜合性強．