Question

【題目】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，記旋轉(zhuǎn)角為α，當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，作A′D⊥AC，垂足為D，A′D與B′C交于點(diǎn)E．

（1）如圖1，當(dāng)∠CA′D＝15°時(shí)，作∠A′EC的平分線EF交BC于點(diǎn)F．

①寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；

②求證：EA′+EC＝EF；

（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)P是直線A′D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PF，若AB＝，求線段PA+PF的最小值．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】（1）①105°，②見解析；（2）

【解析】

（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解決問題，

②連接A′F，設(shè)EF交CA′于點(diǎn)O，在EF時(shí)截取EM=EC，連接CM．首先證明△CFA′是等邊三角形，再證明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解決問題．

（2）如圖2中，連接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于M．證明△A′EF≌△A′EB′，推出EF=EB′，推出B′，F關(guān)于A′E對(duì)稱，推出PF=PB′，推出PA+PF=PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解決問題．

①解：由∠CA′D＝15°，可知∠A′CD=90°-15°=75°，所以∠A′CA=180°-75°=105°即旋轉(zhuǎn)角α為105°．

②證明：連接A′F，設(shè)EF交CA′于點(diǎn)O．在EF時(shí)截取EM＝EC，連接CM．

∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，

∴∠CEA′＝120°，

∵FE平分∠CEA′，

∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，

∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，

∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，

∴△FOC∽△A′OE，

∴＝，

∴＝，

∵∠COE＝∠FOA′，

∴△COE∽△FOA′，

∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，

∴△A′CF是等邊三角形，

∴CF＝CA′＝A′F，

∵EM＝EC，∠CEM＝60°，

∴△CEM是等邊三角形，

∠ECM＝60°，CM＝CE，

∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，

∴∠FCM＝∠A′CE，

∴△FCM≌△A′CE（SAS），

∴FM＝A′E，

∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．

（2）解：如圖2中，連接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于M．

由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，

∴△A′EF≌△A′EB′，

∴EF＝EB′，

∴B′，F關(guān)于A′E對(duì)稱，

∴PF＝PB′，

∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，

在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，

∴B′M＝CB′＝1，CM＝，

∴AB′＝＝＝．

∴PA+PF的最小值為．