Question

已知：△ABC為等邊三角形，為射線AC上一點，D為射線CB上一點，AD=DE．
（1）如圖1，當(dāng)點D為線段BC的中點，點在AC的延長線上時，求證：BD+AB=AE；
（2）如圖2，當(dāng)點D為線段BC上任意一點，點在AC的延長線上時，（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點D在線段CB的延長線上，點在線段AC上時，請直接寫出BD、AB、AE的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用△ABC是等邊三角形得出角，邊關(guān)系，利用AD=DE，得出△CDE是等腰三角形，得出CD=CE，由線段關(guān)系可得出BD+AB=AE．
（2）在AB上取BH=BD，連接DH，利用AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，
（3）在AB上取AF=AE，連接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的關(guān)系，得出△BDF是等腰三角形，根據(jù)邊的關(guān)系得出結(jié)論AB=BD+AE．

解答：證明：（1）如圖1，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∵點D為線段BC的中點，
∴BD=CD，∠CAD=

1

2

∠BAC=30°，
∵AD=AE，
∴∠E=∠CAD=30°，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=60°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE，
∴AE=AC+CE=AB+CD=AB+BD．
（2）成立，理由如下：
如圖2，在AB上取BH=BD，連接DH，

∵BH=BD，∠B=60°，
∴△BDH為等邊三角形，AB-BH=BC-BD即AH=DC，
∴∠BHD=60°，BD=DH，
∵AD=DE，
∴∠E=∠CAD，
∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E即∠BAD=∠CDE，
∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，
∴180°-∠BHD=180°-∠ACB即∠AHD=∠DCE，
∵∠BAD=∠CDE，AD=DE，∠AHD=∠DCE，
在△AHD和△DCE，

∠BAD=∠CDE ∠AHD=∠DCE AD=DE

，
∴△AHD≌△DCE（AAS），
∴DH=CE，
∴BD=CE，
∴AE=AC+CE=AB+BD，
（3）AB=BD+AE，
如圖3，在AB上取AF=AE，連接DF，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△AFE是等邊三角形，
∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，
∴EF∥BC，
∴∠EDB=∠DEF，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴∠DEF=∠DAF，
∵DF=DF，AF=EF，
在△AFD和△EFD中，

AD=DE DF=DF AF=EF

，
∴△AFD≌△EFD（SSS）
∴∠ADF=∠EDF，∠DAF=∠DEF，
∴∠FDB=∠EDF+∠EDB，∠DFB=∠DAF+∠ADF，
∵∠EDB=∠DEF，
∴∠FDB=∠DFB，
∴DB=BF，
∵AB=AF+FB，
∴AB=BD+AE．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，運用三角形全等找出對應(yīng)的線段．