Question

已知拋物線C：y=x²-（m+1）x+1的頂點在坐標軸上．
（1）求m的值；
（2）m＞0時，拋物線C向下平移n（n＞0）個單位后與拋物線C₁：y=ax²+bx+c關于y軸對稱，且C₁過點（n，3），求C₁的函數關系式；
（3）-3＜m＜0時，拋物線C的頂點為M，且過點P（1，y）．問在直線x=-1上是否存在一點Q使得△QPM的周長最小，如果存在，求出點Q的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當拋物線C的頂點在x軸上時，△=[-（m+1）]²-4=0，求出m的值，當拋物線C的頂點在y軸上時，-（m+1）=0，求出m的值，即可得到答案；
（2）當m＞0時，m=1，即可得到拋物線C的解析式，向下平移n（n＞0）個單位后得到y=x²-2x+1-n，根據拋物線y=x²-2x+1-n與拋物線C₁：y=ax²+bx+c關于y軸對稱，得到拋物線C₁：y=x²+2x+1-n，把點（n，3）代入求出即可；
（3）存在，根據已知可求出拋物線C的解析式是y=x²+1，把P的坐標代入即可求出P的坐標，作點M（0，1）關于直線x=-1的對稱點M′（-2，1），設直線PM′的解析式為y=kx+b，把P、M′的坐標代入得到方程組，求出方程組的解即可求出Q的坐標．
解答：（1）解：當拋物線C的頂點在x軸上時，△=[-（m+1）]²-4=0，
解得m=1或m=-3，
當拋物線C的頂點在y軸上時，-（m+1）=0，
∴m=-1，
即：m=±1或m=-3，
答：m的值是m=±1或m=-3．

（2）解：當m＞0時，m=1，
拋物線C的解析式為y=x²-2x+1，
向下平移n（n＞0）個單位后得到y=x²-2x+1-n，
拋物線y=x²-2x+1-n與拋物線C₁：y=ax²+bx+c關于y軸對稱，
∴a=1，b=2，c=1-n，
∴拋物線C₁：y=x²+2x+1-n，
∵拋物線C₁過點（n，3）
∴n²+2n+1-n=3，即n²+n-2=0，
解得n₁=1，n₂=-2（由題意n＞0，舍去）∴n=1
∴拋物線C₁：y=x²+2x，
答：C₁的函數關系式是y=x²+2x．

（3）解：存在，理由是：
當-3＜m＜0時m=-1，
拋物線C的解析式是y=x²+1，
頂點M（0，1），
∵過點P（1，y），
∴y=1+1=2，
∴P（1，2），
作點M（0，1）關于直線x=-1的對稱點M′（-2，1），
設直線PM′的解析式為y=kx+b，
把P（1，2），M′（-2，1）代入得：，
解得：，
∴直線PM′的解析式為，
∴，
答：在直線x=-1上存在一點Q，使得△QPM的周長最小，點Q的坐標是（-1，）．
點評：本題主要考查對用待定系數法求一次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，解一元一次方程，解二元一次方程組，二次函數關于Y軸的點的坐標，平移的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個綜合性很強的題目，題型較好，難度適中．