Question

如圖，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△DBE，DE的延長(zhǎng)線與AC相交于點(diǎn)F，連接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．
（1）求證：DA∥BC；
（2）猜想線段DF、AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得出∠DAB=∠ABC，進(jìn)而得出答案；
（2）首先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法得出△DBG≌△ABF（SAS），進(jìn)而得出△BGF為等邊三角形，求出DF=DG+FG=AF+AF=2AF．

解答：（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB，
∴△ABD為等邊三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠ABC，
∴DA∥BC；

（2）猜想：DF=2AF，
證明如下：如圖，在DF上截取DG=AF，連接BG，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF，
在△DBG和△ABF中，

DB=AB ∠BDG=∠BAF DG=AF

，
∴△DBG≌△ABF（SAS），
∴BG=BF，∠DBG=∠ABF，
∵∠DBG+∠GBE=α=60°，
∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°，
又∵BG=BF，
∴△BGF為等邊三角形，
∴GF=BF，
又∵BF=AF，
∴FG=AF，
∴DF=DG+FG=AF+AF=2AF．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．