Question

已知一個(gè)三角形紙片的兩邊長(zhǎng)是5和6，第三邊的長(zhǎng)是方程x²-6x+5=0的一個(gè)根，若用此三角形紙片剪出一個(gè)圓，則剪出的圓的半徑最大是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,解一元二次方程-因式分解法,三角形三邊關(guān)系

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：先解方程得到x₁=1，x₂=5，再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到三角形第三邊為5，如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)⊙O的半徑為r，作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=CD=3，AD平分∠BAD，根據(jù)內(nèi)心的定義得到點(diǎn)O在AD上，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，則OD=OE=OF=r，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得AD=4，然后利用面積法得到

1

2

•4•6=

1

2

•5•r+

1

2

•6•r+

1

2

•5•r，解得r=

3

2

，由于三角形的內(nèi)切圓為三角形內(nèi)最大的圓，所以此三角形紙片剪出的圓的半徑最大值為

3

2

．

解答：解：x²-6x+5=0，
（x-1）（x-5）=0，
解得x₁=1，x₂=5，
∵三角形紙片的兩邊長(zhǎng)是5和6，
∴三角形第三邊為5，
如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)⊙O的半徑為r，
作AD⊥BC于D，
則BD=CD=3，AD平分∠BAD，
∴點(diǎn)O在AD上，
作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，則OD=OE=OF=r，
在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=4，
∵S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OAC，
∴

1

2

•4•6=

1

2

•5•r+

1

2

•6•r+

1

2

•5•r，解得r=

3

2

，
∴此三角形紙片剪出的圓的半徑最大值為

3

2

．
故答案為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．也考查了三角形三邊的關(guān)系．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．