Question

在△ABC中，D是∠CAB平分線上的點，過點D作AB的平行線分別與直線AC、BC交于點E、F，
（1）連結BD，若EF=AE+BF（如圖1），請說明BD是∠ABC的平分線；
（2）若BD是外角∠CBH的平分線，
①在圖2中，AE、BF、EF之間滿足什么數(shù)量關系，請說明理由；
②若△ABC中，A、B是定點，C是動點，且運動中始終保持∠CAB=m°（m是定值），∠ABC（0°＜∠ABC＜180°）則隨著點C的運動而變化．探究：隨著∠ABC的不斷變化，由①得出的結論始終成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出你的探索結果．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線的性質和角平分線定義求出∠EDA=∠EAD，推出AE=DE，求出DF=BF，推出∠FDB=∠FBD=∠ABD即可．
（2）①根據(jù)平行線的性質和角平分線定義求出∠EAD=∠EDA，∠FDB=∠FBD，推出AE=DE，BF=DF即可．
②根據(jù)平行線的性質和角平分線定義求出∠EAD=∠EDA，∠FDB=∠FBD，推出AE=DE，BF=DF即可．

解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD=∠BAD，
∵EF∥AB，
∴∠EDA=∠BAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=ED，
∵EF=AE+BF，
∴DF=BF，
∴∠FBD=∠FDB，
∵EF∥AB，
∴∠FDB=∠DBA，
∴∠FBD=∠DBA，
∴BD平分∠CBA．

（2）①AE=BF+EF，
理由是：∵EF∥AB，
∴∠EDA=∠DAB，∠EDB=∠DBH，
∵AD平分∠CAB，BD平分∠CBH，
∴∠DAB=∠DAE，∠DBH=∠DBC，
∴∠EDA=∠DAE，∠FDB=∠CBD，
∴AE=DE，DF=BF，
∴AE=DE=EF+DF=EF+BF．

②①中的結論始終成立，
理由是：∵EF∥AB，
∴∠EDA=∠DAB，∠EDB=∠DBH，
∵AD平分∠CAB，BD平分∠CBH，
∴∠DAB=∠DAE，∠DBH=∠DBC，
∴∠EDA=∠DAE，∠FDB=∠CBD，
∴AE=DE，DF=BF，
∴AE=DE=EF+DF=EF+BF．

點評：本題考查了平行線的性質，角平分線定義，等腰三角形的判定的應用，題目比較好，證明過程類似．