類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到,如下是一個案例,請補(bǔ)充完整.
原題:如圖1,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn),BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G.若=3,求的值.

(1)嘗試探究
在圖1中,過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H,則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是______,CG和EH的數(shù)量關(guān)系是______,的值是______.
(2)類比延伸
如圖2,在原題的條件下,若=m(m>0),則的值是______(用含有m的代數(shù)式表示),試寫出解答過程.
(3)拓展遷移
如圖3,梯形ABCD中,DC∥AB,點(diǎn)E是BC的延長線上的一點(diǎn),AE和BD相交于點(diǎn)F.若=a,=b,(a>0,b>0)
,則的值是______(用含a、b的代數(shù)式表示).
【答案】分析:(1)本問體現(xiàn)“特殊”的情形,=3是一個確定的數(shù)值.如答圖1,過E點(diǎn)作平行線,構(gòu)造相似三角形,利用相似三角形和中位線的性質(zhì),分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來表示,最后求得比值;
(2)本問體現(xiàn)“一般”的情形,=m不再是一個確定的數(shù)值,但(1)問中的解題方法依然適用,如答圖2所示.
(3)本問體現(xiàn)“類比”與“轉(zhuǎn)化”的情形,將(1)(2)問中的解題方法推廣轉(zhuǎn)化到梯形中,如答圖3所示.
解答:解:(1)依題意,過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H,如右圖1所示.
則有△ABF∽△HEF,
,∴AB=3EH.
∵?ABCD,EH∥AB,∴EH∥CD,
又∵E為BC中點(diǎn),∴EH為△BCG的中位線,∴CG=2EH.
===
故填空答案:AB=3EH;CG=2EH;

(2)如右圖2所示,作EH∥AB交BG于點(diǎn)H,則△EFH∽△AFB.
==m,∴AB=mEH.
∵AB=CD,∴CD=mEH.…5分
∵EH∥AB∥CD,∴△BEH∽△BCG.
==2,∴CG=2EH.…6分
==
故填空答案:

(3)如右圖3所示,過點(diǎn)E作EH∥AB交BD的延長線于點(diǎn)H,則有EH∥AB∥CD.
∵EH∥CD,∴△BCD∽△BEH,
==b,∴CD=bEH.
=a,∴AB=aCD=abEH.
∵EH∥AB,∴△ABF∽△EHF,
===ab,
故填空答案:ab.
點(diǎn)評:本題的設(shè)計(jì)獨(dú)具匠心:由平行四邊形中的一個特殊的例子出發(fā)(第1問),推廣到平行四邊形中的一般情形(第2問),最后再通過類比、轉(zhuǎn)化到梯形中去(第3問).各種圖形雖然形式不一,但運(yùn)用的解題思想與解題方法卻是一以貫之:即通過構(gòu)造相似三角形,得到線段之間的比例關(guān)系,這個比例關(guān)系均統(tǒng)一用同一條線段來表達(dá),這樣就可以方便地求出線段的比值.本題體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)的類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法,有利于學(xué)生觸類旁通、舉一反三.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•河南)類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到,如下是一個案例,請補(bǔ)充完整.
原題:如圖1,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn),BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G.若
AF
EF
=3,求
CD
CG
的值.

(1)嘗試探究
在圖1中,過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H,則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是
AB=3EH
AB=3EH
,CG和EH的數(shù)量關(guān)系是
CG=2EH
CG=2EH
,
CD
CG
的值是
3
2
3
2

(2)類比延伸
如圖2,在原題的條件下,若
AF
EF
=m(m>0),則
CD
CG
的值是
m
2
m
2
(用含有m的代數(shù)式表示),試寫出解答過程.
(3)拓展遷移
如圖3,梯形ABCD中,DC∥AB,點(diǎn)E是BC的延長線上的一點(diǎn),AE和BD相交于點(diǎn)F.若
AB
CD
=a,
BC
BE
=b,(a>0,b>0)
,則
AF
EF
的值是
ab
ab
(用含a、b的代數(shù)式表示).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•阜寧縣一模)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常需要總結(jié)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法.如類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法,如下是一個案例,請補(bǔ)充完整.
題目:如圖1,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AE上,BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G,若
AF
EF
=3
,求
CD
CG
的值.

(1)嘗試探究
在圖1中,過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H,則易求
AB
EH
的值是
3
3
CG
EH
的值是
2
2
,從而確定
CD
CG
的值是
3
2
3
2

(2)類比延伸
如圖2,在原題的條件下,若
AF
EF
=m
(m>0),則
CD
CG
的值是
m
2
m
2
.(用含m的代數(shù)式表示),寫出解答過程.
(3)拓展遷移
如圖3,在梯形ABCD中,DC∥AB,點(diǎn)E是BC延長線上的一點(diǎn),AE和BD相交于F,若
AB
CD
=a
BC
BE
=b
(a>0,b>0),則
AF
EF
的值是
ab
ab
.(用含a、b的代數(shù)式表示)寫出解答過程.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年初中畢業(yè)升學(xué)考試(河南洛陽卷)數(shù)學(xué)(帶解析) 題型:解答題

類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到,如下是一個案例,請補(bǔ)充完整.
原題:如圖1,在中,點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn),點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn),BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G,若,求的值。

(1)嘗試探究
在圖1中,過點(diǎn)E作交BG于點(diǎn)H,則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是           ,CG和EH的數(shù)量關(guān)系是           ,的值是         
(2)類比延伸
如圖2,在原題的條件下,若的值是      (用含的代數(shù)式表示),試寫出解答過程。

(3)拓展遷移
如圖3,梯形ABCD中,DC∥AB,點(diǎn)E是BC延長線上一點(diǎn),AE和BD相交于點(diǎn)F,若,則的值是            (用含的代數(shù)式表示).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013屆江蘇省阜寧縣九年級第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常需要總結(jié)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。如類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法,如下是一個案例,請補(bǔ)充完整。
題目:如圖1,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AE上,BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G,若,求的值。

(1)嘗試探究
在圖1中,過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H,則易求的值是       的值是
         ,從而確定的值是          。
(2)類比延伸
如圖2,在原題的條件下,若,則的值是         。(用含m的代數(shù)式表示),寫出解答過程。
(3)拓展遷移
如圖3,在梯形ABCD中,DC∥AB,點(diǎn)E是BC延長線上的一點(diǎn),AE和BD相交于F,若a>0,b>0),則的值是         。(用含a、b的代數(shù)式表示)寫出解答過程。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省阜寧縣九年級第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常需要總結(jié)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。如類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法,如下是一個案例,請補(bǔ)充完整。

題目:如圖1,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AE上,BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G,若,求的值。

(1)嘗試探究

在圖1中,過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H,則易求的值是       ,的值是

         ,從而確定的值是          。

(2)類比延伸

如圖2,在原題的條件下,若,則的值是         。(用含m的代數(shù)式表示),寫出解答過程。

(3)拓展遷移

如圖3,在梯形ABCD中,DC∥AB,點(diǎn)E是BC延長線上的一點(diǎn),AE和BD相交于F,若,a>0,b>0),則的值是         。(用含a、b的代數(shù)式表示)寫出解答過程。

 

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