Question

已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一個圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉，且直線CE，CF分別與直線AB交于點M，N．

(Ⅰ)當扇形CEF繞點C在∠ACB的內部旋轉時，如圖①，求證：MN²＝AM²＋BN²；

思路點撥：考慮MN²＝AM²＋BN²符合勾股定理的形式，需轉化為在直角三角形中解決．可將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，只需證DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．

請你完成證明過程：

(Ⅱ)當扇形CEF繞點C旋轉至圖②的位置時，關系式MN²＝AM²＋BN²是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：將△沿直線對折，得△，連， 　　則△≌△．　1分 　　有，，，． 　　又由，得．　2分 　　由， 　　 　　， 　　得．　3分 　　又， 　　∴△≌△．　4分 　　有，． 　　∴．　5分 　　∴在Rt△中，由勾股定理， 　　得．即．　6分 　　(Ⅱ)關系式仍然成立．　7分 　　證明：將△沿直線對折，得△，連， 　　則△≌△．　8分 　　有，， 　　，． 　　又由，得． 　　由， 　　． 　　得．　9分 　　又， 　　∴△≌△． 　　有，，， 　　∴． 　　∴在Rt△中，由勾股定理， 　　得．即．　10分