Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，4），B（1，0），C（5，0），拋物線對(duì)稱軸l與x軸相交于點(diǎn)M．
（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；
（2）點(diǎn)P在拋物線上，且以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形四條邊的長(zhǎng)度為四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接AC．探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積最大？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用兩點(diǎn)式法設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），代入A（0，4）即可求得函數(shù)的解析式，則可求得拋物線的對(duì)稱軸；
（2）由已知，可求得P（6，4），由題意可知以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3，又知點(diǎn)P的坐標(biāo)中x＞5，所以MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，所以四條邊的長(zhǎng)只能是3、4、5、6的一種情況，則分析求解即可求得答案；
（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N，使△NAC面積最大．設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，此時(shí)點(diǎn)N（t，

4

5

t²-

24

5

t+4）（0＜t＜5），再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長(zhǎng)與△ACN的面積，由二次函數(shù)最大值的問(wèn)題即可求得答案．

解答：解：（1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），
把點(diǎn)A（0，4）代入上式得：a=

4

5

，
∴y=

4

5

（x-1）（x-5）=

4

5

x²-

24

5

x+4=

4

5

（x-3）²-

16

5

，
∴拋物線的對(duì)稱軸是：x=3；

（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為：（6，4），
由題意可知以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3，
又∵點(diǎn)P的坐標(biāo)中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，
∴四條邊的長(zhǎng)只能是3、4、5、6的一種情況，
在Rt△AOM中，AM=

OA2+OM2

=

42+32

=5，
∵拋物線對(duì)稱軸過(guò)點(diǎn)M，
∴在拋物線x＞5的圖象上有關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)與M的距離為5，
即PM=5，此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為6，即AP=6；
故以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊長(zhǎng)度分別是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)3、4、5、6成立，
即P（6，4）；

（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N，使△NAC面積最大．
設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，此時(shí)點(diǎn)N（t，

4

5

t²-

24

5

t+4）（0＜t＜5），
過(guò)點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G；作AM⊥NG于M，
由點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=-

4

5

x+4；
把x=t代入得：y=-

4

5

t+4，則G（t，-

4

5

t+4），
此時(shí)：NG=-

4

5

x+4-（

4

5

t²-

24

5

t+4）=-

4

5

t²+4t，
∵AM+CF=CO，
∴S_△ACN=S_△ANG+S_△CGN=

1

2

AM×NG+

1

2

NG×CF=

1

2

NG•OC=

1

2

（-

4

5

t²+4t）×5=-2t²+10t=-2（t-

5

2

）²+

25

2

，
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，△CAN面積的最大值為

25

2

，
由t=

5

2

，得：y=

4

5

t²-

24

5

t+4=-3，
∴N（

5

2

，-3）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，勾股定理以及三角形面積的最大值問(wèn)題．此題綜合性很強(qiáng)，難度很大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．