Question

如圖，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，對角線ACBD相交于O，∠ACD=60°，點S， P，Q分別是OD，OA，BC的中點。

（1）求證△PQS是等邊三角形；
（2）若AB=5，CD=3，求△PQS的面積；
（3）若△PQS的面積與△AOD的面積的比是7：8，求梯形上、下兩底的比CD：AB。

Answer 1

解：（1）如圖，連接SC、PB

∵ABCD是等腰梯形
∴AD=BC
又∵AC，BD相交于O
∴AO=BO，CO=DO
∵∠ACD=60°
∴△OCD與△OAB均為等邊三角形
∵S是OD的中點
∴CS⊥OD
在Rt△BSC中，Q為BC中點，SQ是斜邊BC的中線
∴SQ=BC
同理BP⊥AC，在Rt△BPC中PQ=BC
SP是△OAD的中位線
∴SP=AD=BC
∴SP=PQ=SQ
∴△SPQ是等邊三角形；
（2）∵AB=5，DC=3
∴SB=DO+OB=+5=
CS是等邊△DCO的高
∴CS=
在Rt△BSC中BC²=
∴△SPQ的邊長SQ=BC=
∴=;
（3）設上底CD=a，下底AB=b（a<b）
由（2）知BC²=SC²+BS²=
                                     =a²+b²+ab
∴=（a²+b²+ab）
又△CDO與△ADO是高相等的三角形
∴
∴=a²×=ab
∵
∴8×（a²+b²+ab）=7×ab
即2a²-5ab+2b²=0
∴（2a-b）（a-2b）=0
又b>a∴2a=b
∴=2
∴上底與下底之比為。