Question

如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．
（1）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．猜想并寫(xiě)出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；
（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．你認(rèn)為（1）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若AC=BC=4，設(shè)△EFP平移的距離為x，當(dāng)0≤x≤8時(shí)，△EFP與△ABC重疊部分的面積為S，請(qǐng)寫(xiě)出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖形就可以猜想出結(jié)論．
（2）要證BQ=AP，可以轉(zhuǎn)化為證明△BCQ≌△ACP得出BQ=AP；
（3）設(shè)△EFP平移的距離為x，當(dāng)0≤x＜4時(shí)，，當(dāng)4≤x≤8時(shí)，，解得x即可．
解答：解：（1）猜想：BQ=AP．
證明：由題意可知EF⊥FP，又EF=FP，
所以∠EPF=45°，
所以QC=CP，又∠BCQ=∠ACP=90°，AC=BC，
所以△BCQ≌△ACP，
得出BQ=AP；

（2）BQ=AP．
證明：∵∠EPF=45°，AC⊥CP，
∴CQ=CP，
又∵BC=AC，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴BQ=AP；

（3）當(dāng)0≤x＜4時(shí)，，
當(dāng)4≤x≤8時(shí)，，
當(dāng)0≤x＜4時(shí)，x=-=時(shí)，S的最大值為；
當(dāng)4≤x≤8時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)y隨x的增大而減小，
∴x=4時(shí)，S的最大值為4．
∴當(dāng)x=時(shí)，S的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，證明兩個(gè)線段相等可以轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問(wèn)題．