Question

【題目】如圖1，拋物線平移后過點(diǎn)A（8，,0）和原點(diǎn)，頂點(diǎn)為B，對稱軸與軸相交于點(diǎn)C，與原拋物線相交于點(diǎn)D．

（1）求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積；

（2）如圖2，直線AB與軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)M為線段OA上一動點(diǎn)，為直角，邊MN與AP相交于點(diǎn)N，設(shè)，試探求：

①為何值時(shí)為等腰三角形；

②為何值時(shí)線段PN的長度最小，最小長度是多少．

Answer 1

【答案】（1）平移后拋物線的解析式，= 12；（2）①，②當(dāng)＝3時(shí)，PN取最小值為．

【解析】

（1）設(shè)平移后拋物線的解析式y(tǒng)=x2+bx，將點(diǎn)A（8，0）代入，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得平移后拋物線的解析式，再根據(jù)割補(bǔ)法由三角形面積公式即可求解；

（2）作NQ垂直于x軸于點(diǎn)Q，

①分當(dāng)MN=AN時(shí)，當(dāng)AM=AN時(shí)，當(dāng)MN=MA時(shí)，三種情況討論可得△MAN為等腰三角形時(shí)t的值；

②由MN所在直線方程為y=，與直線AB的解析式y(tǒng)=﹣x+6聯(lián)立，得xN的最小值為6，此時(shí)t=3，PN取最小值為．

（1）設(shè)平移后拋物線的解析式，

將點(diǎn)A（8，,0）代入，得=，

所以頂點(diǎn)B（4,3），

所以S陰影=OCCB=12；

（2）設(shè)直線AB解析式為y=mx+n，將A（8，0）、B（4，3）分別代入得

，解得：，

所以直線AB的解析式為，作NQ垂直于x軸于點(diǎn)Q，

①當(dāng)MN＝AN時(shí)， N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，

由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.

當(dāng)AM＝AN時(shí)，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知，，MQ＝，

由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，

解得：

t＝12（舍去）；

當(dāng)MN＝MA時(shí)，故是鈍角，顯然不成立,

故；

②由MN所在直線方程為y=，與直線AB的解析式y(tǒng)=﹣x+6聯(lián)立，

得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為XN=，即t2﹣xNt+36﹣xN=0，

由判別式△=x2N﹣4（36﹣）≥0，得xN≥6或xN≤﹣14，

又因?yàn)?＜xN＜8，

所以xN的最小值為6，此時(shí)t=3，

當(dāng)t=3時(shí)，N的坐標(biāo)為（6，），此時(shí)PN取最小值為．