Question

如圖，AB是圓O的直徑，AB=10，點(diǎn)C是圓O上一動(dòng)點(diǎn)（與A，B不重合），∠ACB的平分線交圓O于D．
（1）判斷△ABD的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）若I是△ABC的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，CI、DI中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？如果存在，請(qǐng)指出并求其長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）△ABD是等腰直角三角形．理由如下：
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴=，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形；

（2）DI的長(zhǎng)度不變，且DI=
在Rt△ABD中，
∵AD=BD，AB=10，
∴BD=，
連接OI，
∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠4=∠5，
∵由（1）可知=，
∴∠1=∠2，
∵∠3是△BCI的外角，
∴∠3=∠1+∠4=∠2+∠5，
∴DI=BD是定值，即DI=BD=．
分析：（1）先根據(jù)圓周角定理得出∠ADB=90°，根據(jù)CD平分∠ACB可知=，所以AD=BD，故可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，連接OI，則∠4=∠5，由（1）可知=，所以∠1=∠2，再由三角形外角的性質(zhì)可知∠3=∠1+∠4=∠2+∠5，故可得出DI=BD是定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理、等腰直角三角形、圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．