Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠ABC=45°，AB的垂直平分線EG交BC于F，交DC的延長線于G．
求證：（1）CF=CG；（2）BC=DG．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)EF⊥AB，∠B=45°，可求得∠CFG=45°，根據(jù)梯形的性質(zhì)，一組對邊平行，可求得∠FGC=45°，從而得證．
（2）連接AF，根據(jù)題目所給的條件能證明AF=DC，進(jìn)而證明BF=DC，又因?yàn)镃F=CG，問題可證明．
解答：證明：（1）∵EF⊥AB，∠B=45°
∴∠EFB=90°-45°=45°∴∠CFG=45°
∵AD∥BC，∠ADC=90°∴∠FCG=90°
∴∠FGC=45°，∴CF=CG（3分）

（2）連接AF．（4分）
∵EF是AB的垂直平分線，
∴AF=BF，F(xiàn)E⊥AB
∴∠AFE=∠BFE=45°∴∠AFB=90°．（6分）
∴∠AFB=∠DCB∴AF∥CD，∵AD∥BC∴AF=DC，∴BF=DC（8分）
由（1）知CF=CG∴BF+CF=DC+CG，即：BC=DG．（10分）
點(diǎn)評：本題考查直角梯形的性質(zhì)，直角三角形有兩個角是直角，且一組對邊平行以及線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端的點(diǎn)的距離相等．