Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，頂點為C．

當(dāng)A、B兩點的坐標(biāo)分別為，時，求a、b滿足的關(guān)系式．

若該函數(shù)圖象的對稱軸是直線，且為等腰直角三角形．

①求該二次函數(shù)的解析式用只含a的式子表示；

②在范圍內(nèi)任取三個自變量、、，所對應(yīng)的三個函數(shù)值分別為、、，若以、、為長度的三條線段能圍成三角形，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2），．

【解析】

（1）將點A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得到關(guān)于a、b、c的方程組，然后消去字母c，從而可得到a、b之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）①先確定出拋物線的對稱軸，然后可得到a、b之間的關(guān)系，接下來可求得頂點C的坐標(biāo)（用含a、c的式子表示），然后再用點C的坐標(biāo)表示出點B的坐標(biāo)，最后將點B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得到關(guān)于a、c的方程，通過分解因式可得到a、c之間的關(guān)系，從而可得到拋物線的解析式；②先求得y的最大值和最小值，然后依據(jù)三角形的三邊關(guān)系可列出關(guān)于a的不等式，從而可求得a的取值范圍．

二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，

．

②-①得

化簡得：．

該函數(shù)圖象的對稱軸是直線

，

當(dāng)時，．

且．

為等腰直角三角形，，

．

．

，

．

．

，，

當(dāng)或4時，y取得最小值，

當(dāng)時，y取得最大值．

若以，，為長度的三條線段能圍成三角形則且

整理得：且．

解得．