Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過A（-1，0）、C（0，-3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸直線x=1上找到一點(diǎn)M，使△ACM周長最小，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在x軸上找一點(diǎn)P，使得△APM是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線對(duì)稱，若連接BC，那么BC與直線x=1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M；可先求出直線BC的解析式，聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸方程即可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)△APM為等腰直角三角形，分別利用當(dāng)AM=AP₂時(shí)，當(dāng)PM=AM時(shí)，當(dāng)AP₃=AM時(shí)，當(dāng)AP₁=MP₁時(shí)求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，且A（-1，0），
∴B（3，0）；
可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），由于拋物線經(jīng)過C（0，-3），
則有：a（0+1）（0-3）=-3，a=1；
∴y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；

（2）由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x=1對(duì)稱，
那么M點(diǎn)為直線BC與x=1的交點(diǎn)；
由于直線BC經(jīng)過C（0，-3），可設(shè)其解析式為y=kx-3，
則有：3k-3=0，k=1；
∴直線BC的解析式為y=x-3；
當(dāng)x=1時(shí)，y=x-3=-2，
即M（1，-2）；

（3）∵A（-1，0），M（1，-2），
∴AM=2

2

，
∴當(dāng)AM=AP₂=2

2

時(shí)，
則P₂（2

2

-1，0），
當(dāng)PM=AM時(shí)，P（3，0），
當(dāng)AP₃=AM時(shí)，則P₃（-2

2

-1，0），
當(dāng)AP₁=MP₁時(shí)，則P₁（1，0），
綜上所述：符合題意的P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2

2

-1，0），（3，0），（-2

2

-1，0），（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．