Question

如圖，∠BAC=90°，AC=AB，直線l與以AB為直徑的圓相切于點(diǎn)B，點(diǎn)E是圓上異于A、B的任意一點(diǎn)．直線AE與l相交于點(diǎn)D．
（1）如果AD=10，BD=6，求DE的長(zhǎng)；
（2）連接CE，過(guò)E作CE的垂線交直線AB于F．當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，相應(yīng)的F位于線段AB上、位于BA的延長(zhǎng)線上、位于AB的延長(zhǎng)線上（寫出結(jié)果，不要求證明）．無(wú)論點(diǎn)E如何變化，總有BD=BF．請(qǐng)你就上述三種情況任選一種說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于DB是圓的切線，因此根據(jù)切割線定理得出的DB²=DE•DA即可求出DE的長(zhǎng)；
（2）①設(shè)M是上半圓的中點(diǎn)，連接BC，AM，由于AB=AC，且∠CAB=90°，BC必過(guò)M點(diǎn)，連接AM則AM⊥BC，因此當(dāng)E在BM弧上時(shí)，F(xiàn)在直徑AB上．當(dāng)E在AM弧上時(shí)，F(xiàn)在BA的延長(zhǎng)線上．當(dāng)E在下半圓時(shí)，F(xiàn)在AB的延長(zhǎng)線上．
②本題可通過(guò)相似三角形來(lái)求解，由于∠CEA和∠FEB同是∠AEF的余角，因此這兩角相等，根據(jù)弦切角定理可知：∠CAE=∠B，由此可得出，△CAE∽△FBE，同理可得出Rt△DBE∽R(shí)t△BAE，那么

BE

AE

=

DB

AB

=

BF

AC

，已知AC=AB，因此BD=BF．

解答：解：如圖
（1）∵BD是切線，DA是割線BD=6，AD=10
∴DB²=DE•DA
∴DE=

DB2

DA

=

36

10

=3.6；

（2）設(shè)M是上半圓的中點(diǎn)，當(dāng)E在BM弧上時(shí)，F(xiàn)在直徑AB上
當(dāng)E在AM弧上時(shí)，F(xiàn)在BA的延長(zhǎng)線上，當(dāng)E在下半圓時(shí)，F(xiàn)在AB的延長(zhǎng)線上
連接BE
∵AB是直徑，AC、BD是切線，∠CEF=90°
∴∠AEB=90°，∠CAE=∠FBE，∠DBE=∠BAE
∵∠CEA=90°-∠AEF
∠FEB=90°-∠AEF
∴∠CEA=∠FEB
∴Rt△DBE∽R(shí)t△BAE，△CAE∽△FBE
∴

DB

BA

=

BE

AE

，

BF

AC

=

BE

AE

∵AC=AB
∴BD=BF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)、切割線定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．